题解 CF7C 【Line】

最新推荐文章于 2024-08-11 18:07:42 发布

原创最新推荐文章于 2024-08-11 18:07:42 发布 · 83 阅读

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本文详细介绍了扩展欧几里得算法的应用场景及其在解决不定方程、模线性方程等方面的具体实现方法。文章提供了算法的核心步骤，并附带了一个简单的C++实现示例。

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这题一看就是扩欧水题（注意没学过扩欧那肯定就不是了，学过扩欧其实就是模板题），将此算式转换为Ax+By=-C即可，注意补充几个知识点（这几个知识点看完后可以自己写写代码，如果实在写不出来再来看代码，毕竟模板题记住就行了，但是还要理解）：

扩展欧几里得算法：对于整数a，b，必定存在整数对x，y满足ax+by=gcd(a, b)

扩展欧几里得算法应用

1.不定方程ax+by=c无解判定：如果c%d==0有解，否则无解

2.求解不定方程ax+by=c：先用扩欧求出ax’+by’= d =gcd(a,b)的一组解x'和y'，则方程原来的一组解为 x=x'c/d，y=y'c/d，通解为x=x'c/d+kb/d，y=y'c/d-ka/d（k为任意整数）

3.解模线性方程：a ≡ b (mod n)的含义是a和b关于模n同余，即a mod n==b mod n，则ax-b=ny,移项得ax-ny=b,这恰好是一个二元一次不定方程，用2解决。

4.乘法逆元：ax ≡ 1 (mod n)的解x称为a关于模n的乘法逆元。若gcd(a,n)=1有唯一解，反之无解。注意：通过扩欧算出的不定方程有很多解，最终的逆元应该是（x%n+n）%n,也就是逆元的范围是[0,n-1]

5.改写算式：(a/b) mod p == (a（b的逆元） ) mod p==((a mod p)(（b的逆元） mod p)) mod p

至于证明就不再给出，毕竟LX说过：“证明是数竞选手的事，我们信竞看看，然后用就好了（百度一大堆感兴趣可自行搜索）。”

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long kuoou(long long a,long long b,long long &x1,long long &y1)//地址符号注意
{
    long long x2,y2;
    if(b==0)
    {
        x1=1;
        y1=0;
        return a;
    }
    long long d=kuoou(b,a%b,x2,y2);
    x1=y2;
    y1=x2-a/b*y2;
    return d;
}
int main()
{
    long long a,b,c,x,y;
    scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
    c=-c;
    long long d=kuoou(a,b,x,y);//这里面的x，y只是当ax+by==gcd（a，b）时候的解，还要在下面进行转换
    if(c%d!=0)
    {
        printf("-1");
        return 0;
    }
    x=x*c/d;
    y=y*c/d;//这两步
    //如果不是随机解而是限制解怎么办呢（比如最小解）？
    //那么我们就要用到循环并分类讨论，具体代码不在阐述
    printf("%lld %lld",x,y);
    return 0;
}