SCL--生成树计数（Matrix-Tree定理）

转载于 2015-09-07 21:44:00 发布 · 215 阅读

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原文链接：http://www.cnblogs.com/naturepengchen/articles/4790042.html

本文介绍了一种基于Matrix-Tree定理的高效生成树计数方法，该方法利用Kirchhoff矩阵-树定理计算图的生成树数量。文中详细解释了度数矩阵与邻接矩阵的概念，并通过行列式的计算给出了具体的实现步骤。

2015-09-07 20:52:51

总结：2012 多校#1 的 F题遇到的生成树计数，学习一下～

　　相关学习资料：周冬论文，博客，比较好的code

　　生成树计数方法较多，然而由Matrix-Tree定理(Kirchhoff矩阵-树定理)，我们可以得到一个非常有效率的算法。它首先于1847年被Kirchhoff证明。

　　适用于无自环、重边。

　　我们先定义矩阵D为度数矩阵（n×n），D[i][i] = deg(i)（i的度数），D[i][j] = 0（i != j）

　　　　　以及矩阵G为邻接矩阵（n×n），G[i][j] = 1（i与j之间有边相连），G[i][j] = 0（i与j间无边）。

　　然后让D矩阵减去G矩阵，得到A矩阵，那么生成树的方案数为A的（n-1）阶主子式的行列式的值。

　　因为A矩阵的特殊性，所以我们可以用整数形式的消元来求行列式的值。

下面是HDU4305核心代码部分。　　

注意：在调用Det函数时应该传n-1（代表A矩阵的n-1阶主子式）

int Det(int n){
    int A[MAXN][MAXN];
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = 1; j <= n; ++j)
            A[i][j] = G[i][j];
    int res = 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        for(int j = i + 1; j <= n; ++j){
            while(A[j][i]){
                int t = A[i][i] / A[j][i];
                for(int k = i; k <= n; ++k)
                    A[i][k] = (A[i][k] - A[j][k] * t) % mod;
                for(int k = i; k <= n; ++k)
                    swap(A[i][k],A[j][k]);
                res = -res; //行列式换行，值取反
            }
        }
        if(!A[i][i]) return 0;
        res = res * A[i][i] % mod;
    }
    return (res + mod) % mod;
}