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CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：http://www.cnblogs.com/naturepengchen/articles/4719860.html

本文分享了一次竞赛经历，作者通过两道题目实践了DP与图论的知识。A题利用暴力打表解决了素数与回文数的结合问题；B题则是一道典型的DP题目，涉及状态转移方程的巧妙设计，最终通过组合数学的方法求解。

2015-08-11 03:22:39

【传送门】

总结：由于实验室网络不稳定...　跑到宿舍楼下自习室打的...

　　最近一直在补多校、刷图论数论，脑子有点僵... DP很久没刷，深感dp实力下降，在之前的BC中就已经体现出来了，第二道水DP竟然还debug了10min TUT。

　　今天这场也算是敲醒了dp警钟。

A题：这题出的怪怪的，暴力打表... 没啥好说的，注意 long long。

#include <cstdio>
#include <ctime>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <string>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define getmid(l,r) ((l) + ((r) - (l)) / 2)
#define MP(a,b) make_pair(a,b)
#define PB push_back

typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
const double eps = 1e-8;
const int INF = (1 << 30) - 1;

int prime[2000010];
int pal[2000010];

bool P(int v){
    int k = sqrt(1.0 * v);
    for(int i = 2; i <= k; ++i) if(v % i == 0) return false;
    return true;
}

int s[10];

bool PA(int v){
    int cnt = 0;
    while(v){
        s[++cnt] = v % 10;
        v /= 10;
    }
    for(int i = 1; i <= cnt; ++i) if(s[i] != s[cnt + 1 - i]) return false;
    return true;
}

int main(){
    pal[1] = 1;
    prime[1] = 0;
    for(int i = 2; i <= 2000000; ++i){
        if(P(i)) prime[i] = 1;
        if(PA(i)) pal[i] = 1;
        prime[i] += prime[i - 1];
        pal[i] += pal[i - 1];
    }
    int p,q;
    scanf("%d%d",&p,&q);
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i <= 2000000; ++i){
        ll A = 1ll * prime[i] * q;
        ll B = 1ll * pal[i] * p;
        if(A <= B) ans = i;
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

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B题：DP

　　题意：比较难懂，简单来说就是总共n（<=4000）个点，你要挑选一些点放进一个集合（不能全选），这些点在集合中形成若干个联通块，问总共有多少种图。

　　早早地想到DP，换了两三个思路...　一直不知道怎么算联通块形成种类数。比赛中WA了6发没过 - -！赛后问了Jay巨，发现自己太young了....

　　思路：可以枚举没被放入集合的点数，设为 i，再设 DP[i] 为 i 个点放入集合形成若干联通块的图的方案数，设 dp[i][j] 为 i 个点形成 j 个联通块的方案数。

　　那么：dp[i][j] = dp[i - 1][j] * j + dp[i - 1][j - 1] ， DP[i] = Sigma(dp[i][j]) , （1 <= j <= i）。

　　最后的答案就是：Sigma( C( n , i ) * DP[n - i] ) , ( 1 <= i <= n )

#include <cstdio>
#include <ctime>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <string>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define getmid(l,r) ((l) + ((r) - (l)) / 2)
#define MP(a,b) make_pair(a,b)
#define PB push_back

typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
const double eps = 1e-8;
const int INF = (1 << 30) - 1;
const ll mod = 1e9 + 7;

int n;
ll dp[4010][4010],DP[4010];
ll C[4010][4010];

void Pre(){
    for(int i = 0; i <= 4000; ++i){
        C[i][0] = C[i][i] = 1;
        for(int j = 1; j < i; ++j){
            C[i][j] = C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1];
            C[i][j] %= mod;
        }
    }
}

int main(){
    Pre();
    scanf("%d",&n);
    dp[0][0] = 1;
    DP[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        for(int j = 1; j <= i; ++j){
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] * j + dp[i - 1][j - 1];
            dp[i][j] %= mod;
            DP[i] += dp[i][j];
            DP[i] %= mod;
        }
    }
    ll ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        ans += C[n][i] * DP[n - i];
        ans %= mod;
    }
    printf("%I64d\n",ans);
    return 0;
}

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