广义牛顿二项式定理

普通的牛顿二项式定理在高中学习过的，当乘方为正整数的时候，但是有些时候需要用到不一定是正整数的情况（比如生成函数），需要用到分数或者负数等等，于是广义牛顿二项式定理就出来了。

首先我们引入牛顿二项式系数${r \choose n}$。

牛顿二项式系数定义:

设r为实数，n为整数，引入形式符号

$${r \choose n}=
\begin{cases}
0， & n<0\\
1， & n=0\\
\frac{r(r-1)\cdots (r-n+1)}{n!}， & n>0
\end{cases}$$

广义牛顿二项式定理：

　　　　　　　　　　　　　　　　$(x+y)^{\alpha}=\sum_{n=0}^\infty{\alpha \choose n}x^{n}y^{\alpha-n}$

其中x，y，α为实数，且$\mid\frac{x}{y}\mid<1$
证明：

证明需要用到数学分析的知识，没学过的话，应该看不懂2333。

令$z=\frac{x}{y}$则有：

$(x+y)^{\alpha}=y^{\alpha}(1+z)^{\alpha}，\mid z\mid <1$

设$f(z)=(1+z)^{\alpha}$，于是有ÿ