2024牛客暑期多校训练营1A—A Bit Common-优快云博客

这题要运用到位运算组合数

给定两个正整数 n 和 m，求满足以条件的长度为 n 的数列 a1,a2,...,an 有多少个：

存在非空子序列其AND值为1

由于n,m是<=5000的，所以我们需要用到快速幂

int ksm(int x,int y) {
	int ans = 1;
	while(y) {
		if(y & 1) ans = (x * ans) % mod;
		x = (x * x) % mod;
		y >>= 1;
	}
	return ans;
}

其次就是求组合数，组合数其实就是杨辉三角(原因可以去csdn)所以我们用二维dp求杨辉三角来记录组合数

dp[0][0] = 1;
	for(int i = 1 ; i <= max(n,m) ; ++i) {
		dp[i][0] = 1;
		for(int j = 1 ; j <= i ; ++j) {
			dp[i][j] = (dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]) % mod;
		}
	}

最后就是因为奇数的二进制最后一位一定是1，而偶数的二进制最后一位一定是0，所以我们需要枚举m-1位的二进制，并且保证每一位至少有一个0

那么我们需要枚举n取1个奇数和n-1个偶数的组合，n取2个奇数和n-2个偶数的组合，直到取到n

也就是组合数×奇数个数×偶数个数

for(int i = 1 ; i <= n ; ++i) {
//		cout << ksm(a[i]-1,m-1) << " " << dp[n][i] << " " << ksm(a[m-1],n-i) << endl;
		num += ((ksm(a[i]-1,m-1)*dp[n][i])%mod)*ksm(a[m-1],n-i);
		num %= mod;
	}

最后即是答案

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;
const int A = 5100;
int dp[A][A];//杨辉三角组合数 
int a[A];//2的n次方 
int n,m,mod;
int ksm(int x,int y) {
	int ans = 1;
	while(y) {
		if(y & 1) ans = (x * ans) % mod;
		x = (x * x) % mod;
		y >>= 1;
	}
	return ans;
}
signed main() {
	cin >> n >> m >> mod;
	a[0] = 1;
	for(int i = 1 ; i <= max(n,m) ; ++i) {
		a[i] = (a[i - 1] * 2) % mod;
	}
	dp[0][0] = 1;
	for(int i = 1 ; i <= max(n,m) ; ++i) {
		dp[i][0] = 1;
		for(int j = 1 ; j <= i ; ++j) {
			dp[i][j] = (dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]) % mod;
		}
	}
	int num = 0;
	for(int i = 1 ; i <= n ; ++i) {
//		cout << ksm(a[i]-1,m-1) << " " << dp[n][i] << " " << ksm(a[m-1],n-i) << endl;
		num += ((ksm(a[i]-1,m-1)*dp[n][i])%mod)*ksm(a[m-1],n-i);
		num %= mod;
	}
	cout << num << endl;
	return 0;
}