2020寒假树状数组学习记

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#树状数组

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简介

实际上，树状数组算是线段树的小弟角色，树状数组能解决的问题线段树一定能解决，而线段树能解决的问题树状数组却不一定能解决。两者都是在区间进行操作，但是树状数组是不如线段树厉害的。但是树状数组的有点就在于常数小，并且短小精悍，手打的时候就几行代码快的一匹。并且lowbit函数的思想非常精妙。

位运算

树状数组涉及到大量的位运算，跟二进制紧密结合。其实就是二进制中的运算，再换回十进制，得到结果。

lowbit函数

先放个代码：

int lowbit(int x) return x&(-x);

非常短小精悍吧！这可以说是树状数组的精髓。而其作用是“二进制数从低位向高位数，第一个数字1"作为运算结果。有点难理解，FOR EXAMPLE：
lowbit(12) = 4

12的二进制为1100，从低位到高位（右到左），碰见第一个1时，截断，只取下面部分作为结果，即：100，十进制是4。

其实就是二进制从右向左碰见第一个1时分开这个数，右边的部分转化成十进制后输出。这样，很明显我们得到的结果必定是1、2、4、8、16等数（1或2^n），同时在变化的过程中不断循环增大。我们只需要提供1-8的lowbit结果就可以了：
在这里插入图片描述

原理

根据上面的图，我们可以做出分析。
如果把lowbit函数的值作为这个位置储存的区域和，这样就可以完美覆盖所有位置。也就是，每一个数字管理一段区间。就像线段树一样。这就是为什么我们要利用lowbit函数。

我们在维护、使用树状数组的时候，利用累加。原来数组上利用累加的时候是i++，这样遍历一次数组时间复杂度为O(n)，我们既然可以利用lowbit，那么累加的时候将i++改为i += lowbit(i)，这样虽然我们还是在原数组上跳跃，但是可以抽象成在一个树上按顺序遍历。

树状数组的区间维护

我们利用数组查找时候O(1)的特点，直接修改对应的数值，即：tree[index] = n。这样是最开始的一步，接下来就是维护了。我们从index开始，根据lowbit进行遍历，即：i += lowbit(i)，每次循环就将tree[i] += n，这样就保证的了树状数组的更新。放个小代码：

void update(int index, int n) {
    for (int i = index; i <= NUM; i += lowbit(i)或者(i&-i)) {
        tree[i] += n;
    }
}

操作是非常多变的，具体的操作有具体的写法，这里就随便写一个操作了。里面NUM这个全局变量，很明显是数据的总长度，设置成全局变量了，当然作为参数由外面传进来也是可以的。

树状数组的区间查询

这里的区间查询，可以说查找的是前缀和。例如我们查找20，得到的是1-20的和，只能得到前缀无法得到具体的区间值。不过问题不大，我们可以通过求两次取差的方法获取区间值，例如：find(right) - find(left)，也可以在某个数组上取差。

跟更新相反，我们从index开始，利用lowbit进行递减，就可以一直减到1，就可以求出前缀和了。

int q_sum(int n) {
    int ans = 0;
    for (int i = n; i > 0; i -= (i&-i)或者lowbit(i)) {
        ans += tree[i];
    }
    return ans;
}

模板

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
int tree[100010];
int NUM = 100005;
/* 
注意这个NUM，应该是原数组的长度，可以设成全局变
量，在最初构造树状数组的时候手动累加。
*/
int lowbit(int x)
{
    return x&-x;
}
void update(int index,int n)
{
    for(int i=index;i<NUM;i+=lowbit(i))
    {
        tree[i]+=n;
    }
}
int query_sum(int n)
{
    int ans=0;
    for(int i=n;i>0;i-=lowbit(i))
    {
        ans+=tree[i];
    }
    return ans;
}
int main()
{
    system("pause");
    return 0;
}

例题

2020寒假【gmoj1967】【数列】