CF 300E Empire Strikes Back

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本文提供了一种高效的算法解决方案，用于解决 CodeForces 300E 的数学问题。该问题要求找到一个最小的整数 n，使得 n 的阶乘能够整除给定的一组数的阶乘之积。文章详细介绍了如何使用 O(n) 复杂度的方法来快速计算素因子的数量，并通过二分查找确定目标 n 的值。

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/300/E

题目描述：

这题的题意很简单，现给定k个数，（k <= 10^6），每个数在10^7以内，现要求找到一个最小的n使得 n！能够整除

t = （a1!*a2!*...ak!）。

这题应该比较好想出思路，但是在处理中应该注意避免超时。简单分析：如果能够求出t中所有素因子所对应的个数，然后二分n，n！中所有素因子所对应的个数，如果n！中的所有素因子对应的个数比t中相应素因子的个数多的话，那么则可以认为此时n是合适的，可以考虑n更小的情况。

关键就是如何在指定时间复杂度中求t中素因子的个数，这里有个O（n）的算法，是看Tutorial找到的，首先开一个数组 p，p[ i ]表示t中i因子的个数，首先是对于k个数来说，（例如：a2 = 5，即t中有一个是5！），那么说明p[ 5 ] ,p [ 4 ].....p[ 2 ]都加1，然后就是处理的关键了：

其实可以这样理解，对于一个 i 来说，如果 i 是合数，那么 i 的素因子应该全得再加上 p[ i ] 个，而这里处理的是将 i 的最小素因子加p [ i ]个，然后将 i / minP[ i ]（表示i的最小素因子）加p[ i ]个，i 可以从大到小进行循环，那么如果 i / minP[ i ]还是合数的话，那么会在 i = i / minP[ i ]时处理接下来的 i 的素因子：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std ;

const int MAXM = 1e7+5 ;
bool pri[MAXM] ;
int minP[MAXM], k, prim[MAXM], tot ;
long long sum, num[MAXM] ; //num[ i ]表示在分母中i因子的个数
long long val[MAXM] ;
//
void getPrim(){
	memset(pri,1,sizeof(pri)) ;
	for( int i = 2; i < MAXM; i++ ){
		if( pri[i] ){
			minP[i] = i, prim[tot++] = i ;
			for( int j = 2*i; j < MAXM; j += i ){
				if( pri[j] )	minP[j] = i ; 
				pri[j] = false ;
			}
		}
	}
}
//判断n是否合适
bool calCheck(long long mid){
	memset(val,0,sizeof(val)) ;
	long long t ;
	for( int i = 0; i < tot; i++ ){
		t = prim[i] ;
		while( mid / t ){
			val[prim[i]] += mid / t ;
			t *= prim[i] ;
		}
	}
	for( int i = 0; i < tot; i++ ){
		if( num[prim[i]] > val[prim[i]] )	return false ;
	}	
	return true ;
}
//
void cal(){
	for( int i = MAXM-1; i >= 2; i-- ){
		if( num[i] )	num[i-1] += num[i] ;
	}
	//关键处理，O（n）处理出num[i]
	for( int i = MAXM-1; i >= 2; i-- ){
		if( !pri[i] ){
			num[i/minP[i]] += num[i] ;
			num[minP[i]] += num[i] ;
		}
	}
	//二分n
	long long ll = 0, rr = sum ;
	while( ll + 1 < rr ){
		long long mid = (ll+rr) / 2 ;
		if( calCheck(mid) ){
			rr = mid ; 
		}else{
			ll = mid ;		
		}
	}
	cout << rr << endl ;
}
//
int main(){
	//freopen("1234.in","r",stdin) ;
	getPrim() ;	
	scanf("%d",&k) ;
	sum = 0 ;
	for( int i = 0; i < k; i++ ){
		int tmp ;
		scanf("%d",&tmp) ;
		sum += tmp ;
		num[tmp]++ ;
	}
	cal() ;
	return 0 ;
}