一起学算法（位运算篇）

1.位运算

1.二进制数值表示

       在计算机中，我们可以用单纯的0和1来表示数字，一般不产生歧义，我们会在数字的右下角写上它的进制，例如：1010（10）其表示的是1010，1010（2）表示的是10

2.二进制加法

二进制加法采用的是从低到高的位次相加，当相加的和为2时，则向高位进位

例如：

 3.二进制的减法

二进制减法采用从低到高的位次依次相减，当遇到0减1的情况，则向高位借位

例如：

 2.位运算简介

 3.位运算概括

1.布尔运算

运算符表示	含义	示例
&	位与	x&y
|	位或	x|y
^	异或	x^y
~	按位取反	x~y

1.位与（一假便假）

左操作数	右操作数	结果
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

   public static void main(String[] args) {
        int a=110;
        int b=0b110;
        System.out.println(a);//110
        System.out.println(b);//6
    }

• 以0b作为前缀的表示它是一个二进制数

位与运算符的应用：

1.奇偶性判定

一般我们判断奇偶数的时候，都是取模进行判断

    int a=15;
        if(a%2==0){
            System.out.println("我是一个偶数");
        }else{
            System.out.println("我是一个奇数");
        }

我们学了位运算之后就可以这样写

  int a=15;
        if((a&1)==0){
            System.out.println("我是一个偶数");
        }else{
            System.out.println("我是一个奇数");
        }

这是因为在二进制中奇数的最后一位是1，偶数的最后一位是0，故&可以求得该数奇偶性

2.取末5位

给定一个数，求它的二进制表示的末5位，以十进制输出即可

可以给 给定的数位与个0b11111,取到末5位的值

x&0b11111

3.消除末尾5位

给定一个数32位的整数，要求消除它的末5位

（11111111111111111111111111100000）（2）

代码这么写确实是复杂，看到都有点头晕，一般我们把它转成16进制，每4个二进制可以转换为一个16进制的数，所以得到的16位进制的数为0xffffffe0

x&0xffffffe0
//f代表的是4个1  e代表的是3个1，1个0   0代表的是4个0

4.消除末尾连续1

给出一个整数，现要求将这个整数转换成二进制数，将末尾连续的1都变为0，输出改变后的数字

• 原二进制表示形式：

•  如果我们给这个原二进制数字上末尾加个1：

•  然后将这两个数进行位与运算：

5.2的幂判定

怎么样才能判断一个正数是不是2的幂次？

• 如果一个数是2的幂次，它的二进制表示必然是：

•  我们将它减1，即2的k次减1的二进制表示如下：

•  于是这两个数位与的结果也为0，于是我们知道一个数x是2的幂次，那么x&(x-1)必然为0

• (x&(x-1))==0

2.位或（一真便真）

左操作数	右操作数	结果
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

1.位或运算符的应用

1.设置标记位

给定一个数，判断它二进制低位的第5位，如果是0，则将它置为1

x|0b10000

2.置空标记位

• 首先，强行将低位的第5位换成1
• 然后，强行将低位的第5位去掉

int a=0b10000
((x|a)-a)

注意：直接减是不行的，因为我们要保证那一位为1，不然会造成借位，影响结果

3.低位连续零变一

给定一个整数x,将它低位连续的0都变为1

• 假设这个整数低位有连续k个零，二进制表示为：

•  减一操作得：

•  两数进行位或操作：

x|(x-1)

4.低位首零变一

3.异或（相同为0，不同为1）

左操作数	右操作数	结果
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

1.异或运算符的应用

1.标记位取反

给定一个数，将它的低位数起的第4位进行取反，0变1  1变0

x^0b10000

2.变量交换

给定两个数，用异或运算交换它们的值

 int a=5;
     int b=15;
     a=a^b;
     b=a^b;
     a=a^b;
     System.out.println(a);//15
     System.out.println(b);//5

3.出现奇数次的数

输入n个数，其中只有一个数出现了奇数次，其他所有数都出现了偶数次，求这个出现了奇数次的数

根据异或的性质，两个一样的数异或结果为0，也就是所有出现偶数次的数异或为0，那么把n个数都异或一下，得到的数一定是那个出现奇数的数

int[] num={2,2,3,4,4,5,5};
         int ans=0;
         for(int n:num){
             ans^=n;
         }
        System.out.println(ans);

4.丢失的数

如果两个相同的数异或为零，那么这个数中，处了丢失的数之外，其余的数都可以找到两两结对异或得零，最后的结果就是0和丢失的数异或，因为0和任何数异或都是这个数的本身，自然地到了丢失的数

5.简单加密

基于两个数异或为0，任何数和零异或为其本身这两个特点，异或还可以用来做简单的加密，将明文异或上一个固定的数变成密文后，可以通过继续异或上这个数，再将密文转成明文

4.按位取反

0变1  1变0

2.移位位运算

运算符表示	含义	示例
<<	左移	x<<y
>>	右移	x>>y

1.左移：

其中x<<y代表将二进制的x的末尾添加y个0，向左移动了y位  1011<<3 =1011000

2.右移：

其中x>>y代表将二进制的x的右边截掉y个0，向右移动了y位  101111>>3 =101

4.将一个hash表压缩成一个数字(只是适用于元素较少的hash表)

空集  -------0
只含有第i个元素的集合{i}---------1<<i
含有全部n个元素的集合{0，1，...，n-1}-------(1<<n)-1
判断第i个元素是否属于集合S-------------if(S>>1&1)
向集合S中加入第i个元素--------------S|1<<i;
从集合S中取出第i个元素--------------S&~(1<<i)   S^(1<<i)
集合S和T的并集------------S|T
集合S和T的交集------------S&T

leetcode题单：

位1的个数

  public int hammingWeight(int n) {
      int count=0;
     for(int i=0;i<32;i++){
           if((n&1)==1){
              count++;
          }
          n>>=1;
     }
      return count;
    }

只出现一次的数字

    public int singleNumber(int[] nums) {
                if(nums.length==0){
            return 0;
        }
        Arrays.sort(nums);
        Stack stack=new Stack();
        for (int i = 0; i<=nums.length-1; i++) {
            stack.push(nums[i]);
            if(stack.peek().equals(nums[nums.length-1])){
                return (int)stack.peek();
            }
            if(stack.peek().equals(nums[i+1])){
                stack.pop();
                i++;
            }else{
                return (int)stack.peek();
            }


        }
       return (int)stack.peek();
    }