一起学算法（递推篇）

前言：递推最通俗的理解就是数列，递推和数列的关系就好比算法和数据结构的关系，数列有点像数据结构中的顺序表，而递推就是一个循环或者迭代的过程的枚举过程

1.斐波那契数列

斐波那契数形成的序列称为斐波那契数列，该数列由0和1开始，后面的每一项数字都是前面两项数字之和，也就是：

F[0]=0   F[1]=1

0  1  1  2  3  5  8  13 21  34  根据规律我们很容易推得下面递推公式：

F[n]=F[n-1]+F[n-2]     其中n>1  

递归函数有两大要点：1.递归的终止条件     2.递归操作（根据上文已推f(n-1)+f(n-2)）

    public int fib(int n) {
        //递归条件
        if(n<2){
            return n;
        }
       //递归操作
       return fib(n-1)+fib(n-2);
    }

• 递归用的用的数据结构其实是栈（先进先出），是自顶向下的算法
• 因为第一项第二项我们是很容易得到的，所以可以当做递归结束的出口
• 利用递推公式逐步的计算每一项的值
• 最后返回结果即可

2.泰波那契数列

泰波那契数列Tn的定义如下：

T(0)=0   T(1)=1    T(2)=1

且在n>2的条件下T(n)=T(n-1)+T(n-2)+T(n-3) 给你一个整数n,返回T(n)的值

如果已经理解了斐波那契数列，那么这个问题也不难，只不过递归条件，递归操作多加一点东西而已，看代码：

    public int tribonacci(int n) {
        if(n<2){
            return n;
        }
        if(n==2){
            return 1;
        }
         return tribonacci(n-1)+tribonacci(n-2)+tribonacci(n-3);
    }

• 0 <= n <= 37   看这个数据范围，当递归这种情况的时候，时间复杂度是很高的，所以不出意外的超时了，但是这种方法也可以用别的方法去做，比如记忆化数组以及动态规划，这部分在这里先不讲了，后面会详细介绍的

3.斐波那契数列的问题转换

1.爬楼梯问题

给定一个n(1<=n<=45)代表总共有n阶台阶，一开始在第n阶台阶， 每次可以爬1或者2个台阶，问总共有多少种不同的方式可以爬到楼顶

假设我们现在已经在第n层，我们是不是可以由第n-1层或者是第n-2层跳过来的呢？所以我们可以推得如下的递推关系式 F[i]=F[i-1]+F[i-2]

于是我们可以发现这个递推公式和斐波那契数列公式极为相像，既然解题思路也是一致，只需要修改递归条件就可以解除本题，但是由于这种的时间复杂度过高

一般是从递推->记忆化搜索->动态规划->状态压缩 进行优化

    //递归
    public int numWays(int n) {
        if(n==0){
            return 1;
        }
        if(n==1){
            return 1;
        }
        if(n==2){
            return 2;
        }
       //递归操作
       return numWays(n-1)+numWays(n-2);
    }

2.二维递推问题（后面细聊，这部分对于新手来说确实有些困难）

leetcode题单：

斐波那契数

  public int fib(int n) {
        if(n<2){
            return n;
        }
       return fib(n-1)+fib(n-2);
    }

第N个泰波那契数

    public int tribonacci(int n) {
        if(n<2){
            return n;
        }
     int[] dp=new int[n+1];
     dp[0]=0;
     dp[1]=1;
     dp[2]=1;
     for(int i=3;i<dp.length;i++){
         dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]+dp[i-3];     }
         return dp[n];
    }

青蛙跳台阶问题

   private static final int[] meno=new int[101];
    //递归
    public int numWays(int n) {
        if(n==0||n==1){
            meno[n]=1;
            return 1;
        }   
     if(meno[n]==0){
         meno[n]=(numWays(n-1)+numWays(n-2))%1000000007;
     }
     return meno[n];
    }

三步问题

    public int waysToStep(int n) {
      if(n<2){
          return 1;
      }
      int[] dp=new int[n+1];
      dp[0]=1;
      dp[1]=1;
      dp[2]=2;
      for(int i=3;i<dp.length;i++){
          dp[i]=(((dp[i-1]+dp[i-2])%1000000007)+dp[i-3])%1000000007;
      }
      return dp[n];
    }

爬楼梯

    private static final int[] meno=new int[101];
    public int climbStairs(int n) {

        if(n==0||n==1){
            meno[n]=1;
            return 1;
        }   
     if(meno[n]==0){
         meno[n]=climbStairs(n-1)+climbStairs(n-2);
     }
     return meno[n];
    }