0x21 树与图的遍历

接下来是一些约定：

给定N个点的树或者图时，其节点编号为1~N，无向图中的边看做成对出现的双向边，树看成是具有N-1条边的无向图，它们的边都存储在一个连接表中，邻接表以head数组为表头，使用ver和edge数组分别存储边的终点和权值，使用next数组模拟链表指针，即链式前向星。

关于链式前向星，可参考另一篇文章https://blog.youkuaiyun.com/dezhonger/article/details/90299908

 

1、树与图的深度优先遍历

//采用下面的代码，调用dfs(1)，完成一张图的深度优先遍历


void dfs(int x) {
    v[x] = 1; //记录点x被访问过，v是visit的缩写
    for (int i = head[x]; i; i = next[i]) {
        int y = ver[i];
        if (v[y]) continue; //点y已经被访问过了
        dfs(y);
    }

}

这段代码访问每个点和每条边恰好1次（如果是无向边，正反向边各1次），复杂度为O(M+N)，其中M为边数。

 

2、时间戳

按照上述深度优先遍历的过程，以每个节点第一次被访问（v[x]被赋值为1时）的顺序，依次给予这N个节点1~N的整数标记，该标记就被称为时间戳，记为dfn数组。

3、树的dfs序

void dfs(int x) {
    a[++m] = x; //a数组存储DFS序
    v[x] = 1;
    for(int i = head[x]; i; i = next[i]) {
        int y = ver[i];
        if(v[y]) continue;
        dfs(y);
    }
    a[++m] = x;
}

4、树的深度

void dfs(int x) {
    v[x] = 1;
    for (int i = head[x]; i; i = next[i]) {
        int y = ver[i];
        if (v[y]) continue;
        d[y] = d[x] + 1;
        dfs(y);
    }
}

5、树的重心

设以每个节点x为根的子树的大小为size[x]。对于叶子节点，我们已知"以它为根的子树"大小为1.若节点x有k个节点y_1,y_2...y_k, 并且以y_1,y_2...y_k为根的子树大小为size[y_1],size[y_2]...size[y_k],则以x为根的子树大小为size[x] = size[y_1] + size[y_2] + ... + size[y_k] + 1.

 

对于一个节点x，如果我们把它从树中删除，那么原来的一棵树可能会分为若干个不相邻的部分，其中每一部分都是一颗子树。设max_part(x)表示在删除节点x后产生的子树中，最大的一棵树的大小。使max_part(x)函数取得最小值的节点就称为整棵树的重心。通过下面的代码，我们可以统计出size数组，并求出树的重心。

void dfs(int x) {
    v[x] = 1;
    size[x] = 1; //子树x的大小
    int max_part = 0; //删掉x后分成的最大子树的大小
    for(int i = head[x]; i; i = next[i]) {
        int y = ver[i];
        if (v[y]) continue; //点y已经被访问过了
        dfs(y);
        size[x] += size[y]; //从子节点向父节点递推
        max_part = max(max_part, size[y]);
    }
    max_part = max(max_part, n - size[x]); //n为整棵树的节点数目
    if (max_part < ans) {
        ans = max_part; //全局变量ans记录重心对应的max_part值
        pos = x; //全局变量pos记录了重心
    }
}

 

6、图的连通块划分

void dfs(int x) {
    v[x] = cnt;
    for(int i = head[x]; i; i = next[i]) {
        int y = ver[i];
        if(v[y]) continue;
        dfs(y);
    }
}

int main() {
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        if(!v[i]) {
            cnt++;
            dfs(i);
        }
    }
}