【AcWing】AcWing 5181. 好四和好五（秋季每日一题2023）（方程组通解）

题目

https://www.acwing.com/problem/content/5184/

数学方法

问题转换

问题可以转换为：

$$\forall x,y\in N^{+},4x+5y=N$$

求$(x,y)$二元组解的个数。

求通解

可以发现，$x_0=-N,y_0=N$是原方程的一组解，则通解为：

$$x=x_0+5k,y=y_0-4k,k\in N^{+}$$

求解方案数

根据$x,y$均为正整数，求解k的范围：

$$x_0+5k>=0,k>=N/5$$

$$y_0-4k>=0,k<=N/4$$

又由于k为正整数，所以k的取值范围为：$[\lceil N/5\rceil ,\lfloor N/4\rfloor ]$。

所以方案数为$\lfloor N/4\rfloor -\lceil N/5\rceil +1$。

代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1000010;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    cout << n / 4 - (n + 4) / 5 + 1 << endl;
    return 0;
}

总结

• 方程组特解和通解的关系在这一题里比较重要，想到了就很好做
• 下取整直接用除法即可，而上取整分子先$+分母-1$再做除法即可