算法复杂度

接前面

反恐搜索——打印间隔两枚选择的硬币里一百个数据要一个小时还没有运行完成。它的复杂度是指数级的吗？

常见初等函数的变化曲线

书中插图

$T(n)=a\ast T(n/b)+O(n^d)$

$T(n)$ 代表递归方法处理规模为n的数据量的时间复杂度，$a\ast T(n/b)$ 代表调用子递归方法的总体时间复杂度，$O(n^d)$ 代表递归方法其他代码的时间复杂度。

$a$

$a$: 每次递归调用子问题的数量。即在一个递归方法，需要调用几次子递归方法。

$b$

$b$: 子问题的规模缩小的比例。例如二分法递归搜索时，每次需要查找的数据都缩小了一半，那么 $b=2$

$d$

$d$: 每次递归调用之外的代码时间复杂度的参数。例如二分法递归搜索时，每次递归时除了调用递归的方法，没有什么for循环代码，时间复杂度是$O(1)$，即 $n^d=1$，因此 $d=0%

推导

1、$d<{\log }_{b}a$

递归时间复杂度为：$O(n^{{\log }_{b}a})$

2、$d={\log }_{b}a$

递归时间复杂度为：$O(n^d\ast {\log }_{}n)$

2、$d>{\log }_{b}a$

递归时间复杂度为：$O(n^d)$

$T(n)=4\ast T(n/1.3)+O(n^0)$

$a=4$有四个递归调用，
$b=1.3$原来一百的数量，最坏的跳过一个就是$\frac{100}{99}$，到最后最好是五个的时候跳过四个$\frac{5}{1}$，取两个的中值1.3吧。
$d=0$ max是调用的Python,几乎常数级别。
${\log }_{1.3}4=5.283853591622281$
$100^{5.283853591622281}=36957891253.5873$

与20个数字对比

20个算出的复杂度是7489486.036335511，100个数字的复杂度是它的4934.636512343405倍。测试20个用时0.42999982833862305秒。

s=time.time()
row = [552, 440, 606, 818, 756, 577, 266, 312, 174, 692, 492, 635, 92, 644, 571, 51, 732, 357, 110, 545]    
_, table = coins2(row,{})
print(time.time()-s)
0.42999982833862305
{0: 0, 1: 545, 2: 655, 3: 655, 4: 1277, 5: 1328, 6: 1328, 7: 1921, 8: 2013, 9: 2055, 10: 2455, 11: 3105, 12: 3105, 13: 3105, 14: 3371, 15: 3948, 16: 4438, 17: 4679, 18: 4795, 19: 4994, 20: 5430}

这样看一个小时应该会有答案。是不是问题的缩小规模没有那么大？

1.1

从5次方变成了14次方。

>>> import math
>>> math.log(4,1.1)
14.545081794683426
>>> 

那就是20个数字用时的13647875839.232113倍，要186年完成计算。

>>> 0.42999982833862305*13647875839.232113/(3600*24*365)
186.0915863792697

指数级的复杂度

从开头的图也可以看出3次方的时候就直接竖上去了。20以内的数据量还可以承受的。