x变成y的最少操作次数(层次遍历)

输入x,y,x为源数字,y为目标值。输出x变成y的最少操作次数。

x每次可以执行三种操作:-1 、 +1 、 x2;

如 x=5,y=8:5-1=4,4x2=8;所以输出结果为2(次操作)。

可以发现用树形结构保存,并用层次遍历的方式找最简单。

层次遍历的实现就是通过队列,循环的将队列front的节点从队列中拿出来,将其儿子节点放入队列后……

#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
struct node{
    int num; //数值
    int level; //层数
    node(int x,int y):num(x),level(y){}
};

int f(int a,int b){
    if(a==b)    return 0;
    queue<node> q;
    node aa(a,0);
    q.push(aa);
    while(!q.empty()){
        node top = q.front();
        q.pop();
        if(top.num == b)
            return top.level;
        q.push(node(top.num-1,top.level+1));
        q.push(node(top.num+1,top.level+1));
        q.push(node(top.num*2,top.level+1));
    }
    return -1;
}
int main(){
    int a,b;
    cin>>a>>b;
    cout<<f(a,b)<<endl;
}

 

转载于:https://www.cnblogs.com/whalelife/p/10708325.html

<think>好的,我现在需要解决用户提出的这个问题:在一个有N个房间的神奇空间中,每个房间可能有多个传送门,相同编号的传送门所在的房间可以互通。给定两个房间A和B,要求找出从A到B最少需要经过几个传送门。这个问题看起来像是一个图论中的最短路径问题,但需要仔细分析如何建模。 首先,我得理解问题中的传送门机制。每个传送门有一个编号,如果多个房间有相同编号的传送门,那么这些房间之间可以直接互相到达,无需经过其他传送门。也就是说,同一个传送门连接的所有房间属于同一个连通区域,一旦进入其中一个房间,就可以瞬间移动到该传送门连接的其他任何房间,不需要消耗传送次数。只有当使用不同编号的传送门时,才会消耗传送次数。 所以,问题的关键在于如何将房间之间的连通性转化为图的结构,进而寻找最短路径。这里可能需要将传送门作为中间节点,或者将房间之间的关系重新建模。例如,每个传送门对应一个连通组件,房间之间通过传送门连接,那么从一个房间到另一个房间的最短路径可能涉及多次切换不同的传送门。 接下来,我需要考虑如何将这个问题转化为图的结构。可能的思路是:把每个传送门视为一个节点,同时房间也视为节点。当房间包含某个传送门时,房间节点与传送门节点之间有一条边。这样,整个问题转化为在这个图中寻找从房间A到房间B的最短路径,其中路径中的每一步可以是房间到传送门,或者传送门到房间。但这样可能会比较复杂,需要考虑如何计算路径长度。 或者,另一种思路是,将每个房间所在的连通区域视为一个节点。连通区域由所有共享至少一个共同传送门的房间组成。这种情况下,如果两个房间属于同一个连通区域(即它们有至少一个共同的传送门编号),那么它们之间可以直接到达,无需经过传送门。但如果需要跨越不同的连通区域,则需要通过不同的传送门,此时传送次数会增加。 但这样可能需要将连通区域合并,处理起来可能比较复杂。或者,更简单的方式是,把每个传送门作为一个边,连接所有拥有该传送门的房间。然后,问题转化为在这样一个图中,寻找从A到B的最短路径,其中每一步使用一个传送门,路径的长度即为使用的传送门数量。 不过,这里需要注意的是,当从一个房间通过一个传送门到达另一个房间时,是否需要消耗一次传送次数?比如,假设房间A有传送门1,房间B也有传送门1,那么从A到B可以直接到达,不需要经过其他传送门,此时传送次数为0?或者是否需要使用一次传送门? 根据问题描述,“最少需要经过几个传送门”,这里的“经过”可能指的是使用传送门的次数。比如,从A出发,使用传送门1到达某个中间房间,再使用传送门2到达B,那么总共使用了两个传送门,因此答案是2。 或者,问题可能是指经过的传送门数量,即路径中经过的传送门编号的数量。比如,从A到某个中间房间需要传送门1,然后到B需要传送门2,那么总共是两个不同的传送门,所以答案是2。 这需要明确问题的定义。例如,假设每个传送门的使用算作一次,那么路径的长度就是使用的传送门次数。但同一传送门多次使用是否算多次?比如,如果从A到C用传送门1,再从C到D用传送门1,那么是否算两次?或者是否因为同一个传送门可以多次使用而不增加次数? 这里可能需要更仔细地分析题目。题目中的传送门是存在于房间中的,当两个房间有相同的传送门编号时,他们可以直接互通。那么,当从一个房间移动到同一传送门连接的其他房间时,不需要消耗次数,因为这是同一传送门的作用区域。而如果需要换用另一个传送门,则必须经过一次传送门的使用。 例如,假设房间A和房间C都有传送门1,房间C和房间B都有传送门2。那么从A到C不需要使用传送门(因为属于同一个传送门1的区域),然后从C到B需要使用传送门2,所以总共有1次传送门使用。 或者,可能传送门的使用次数是指进入传送门的次数。比如,从A到C需要经过传送门1(一次),然后从C到B需要经过传送门2(第二次),所以总共有两次。 这个时候问题的建模可能不同。需要明确题意。 用户的问题描述是:“最少需要经过几个传送门”,这可能指的是传送的次数,也就是每次使用不同的传送门的次数。例如,从A到B可能需要多次切换不同的传送门,每次切换算一次。 所以,正确的建模方式可能如下: 每个传送门对应一个连通区域,所有拥有该传送门的房间都属于这个区域。在同一个区域内移动不需要使用传送门次数。当需要从一个连通区域移动到另一个连通区域时,需要使用另一个传送门,此时次数加一。所以问题转化为,找到从A所在的初始区域到B所在的最终区域,需要切换多少次传送门。 或者,将问题视为图中的层,其中每个节点是传送门,而房间可以同时属于多个传送门的连通区域。此时,从A到B的最短路径可能需要经过多个传送门,每次切换传送门需要一次次数。 这个时候,可以将问题建模为一个图,其中每个节点代表一个传送门。如果两个传送门所在的房间集合有交集(即存在某个房间同时有这两个传送门),那么这两个传送门之间有一条边,权值为1(表示切换需要一次次数)。同时,初始时,房间A所在的传送门集合作为起点,房间B所在的传送门集合作为终点,寻找从任意一个A所在的传送门到任意一个B所在的传送门的路径中的最短路径,然后加一?或者可能需要重新考虑。 或者,另一种思路是将问题转化为广度优先搜索(BFS),其中每个状态是当前所在的传送门,以及已经使用的次数。初始时,所有与房间A相连的传送门都是起点,此时次数为0。然后,每次从这些传送门出发,找到所有与之相连的房间的其他传送门,此时次数加一。直到找到某个传送门与房间B相连,此时次数即为答案。 例如,假设房间A有传送门1和2,房间B有传送门3和4。假设传送门1连接的房间中有某个房间C,该房间同时有传送门5,那么从传送门1到传送门5需要一次切换(次数加1)。如果传送门5连接的房间中有某个房间D,而D有传送门3,那么次数再加1,总共两次。此时,如果传送门3与房间B相连,则总次数是2。但需要找到最短的路径。 因此,正确的建模方式可能如下: - 将每个传送门视为一个节点。 - 如果两个传送门共同存在于至少一个房间中,则这两个传送门节点之间有一条边(因为可以通过该房间直接切换,而不需要经过其他传送门)。 - 然后,问题转化为:从所有与房间A相连的传送门出发,到所有与房间B相连的传送门的最短路径长度。因为每次切换传送门需要一次次数,所以路径长度即为所需的传送门次数。 - 最终的最短路径长度即为答案。如果房间A和B直接有共同的传送门,则最短路径为0次,因为不需要切换。 例如,房间A和B都有传送门X,那么直接属于同一个传送门,不需要经过任何其他传送门,所以答案是0。 但问题中的描述可能是否允许这种情况?例如,题目中的“最少需要经过几个传送门”是否包括起点和终点的传送门? 或者,可能题目中的“经过几个传送门”指的是使用的次数。例如,如果从A到B需要经过传送门X和Y,那么次数是2? 这个时候可能需要重新理解题目。例如,如果A和B属于同一个传送门的连通区域,那么不需要经过任何传送门,直接到达,因此答案是0。如果需要先使用传送门X到中间房间,再用传送门Y到B,那么答案是2?或者每次使用传送门算一次,比如进入传送门X算一次,进入Y算一次,总次数是2? 这个时候需要明确题目的要求。例如,用户的问题中的“最少需要经过几个传送门”可能是指每次使用一个传送门,所以次数等于使用的传送门数目。例如,从A使用传送门X到达中间房间,再使用传送门Y到达B,那么使用了两个传送门,所以答案是2。 或者,如果同一传送门可以在不同的步骤中被使用多次,例如从A用传送门X到C,然后用传送门X到D,那么是否算两次?或者因为传送门X的连通区域包含A、C、D,所以不需要多次使用? 这个时候需要明确题意。例如,传送门的机制是,拥有相同编号传送门的房间构成一个连通区域,可以在这些房间之间自由移动,不需要消耗次数。因此,从A到B的最短路径次数等于需要切换不同传送门的次数。 例如,假设A所在的连通区域(通过传送门X)无法到达B所在的区域,必须切换到另一个传送门Y的连通区域,那么次数是1。因为从X到Y需要一次切换。 那么正确的模型应该是这样的: 所有房间被划分为多个连通区域,每个连通区域由一组通过相同传送门直接或间接连接的房间组成。这里的连通区域可能由多个传送门共同作用形成。例如,房间1有传送门X和Y,房间2有传送门Y和Z,房间3有传送门Z。此时,房间1、2、3都属于同一个大的连通区域,因为可以通过Y和Z连接。因此,这样的情况下,房间之间的移动不需要使用任何传送门次数,因为可以通过共享的传送门连通。 但是这似乎变得复杂,因为多个传送门的存在可能导致连通区域的合并。例如,如果两个传送门在同一个房间出现,那么这两个传送门的连通区域就会被合并。因此,整个连通区域可能由多个传送门共同连接起来。 此时,整个问题转化为:找出从A到B需要切换的传送门次数,其中每次切换意味着进入一个新的连通区域,而连通区域由所有共享至少一个传送门的房间组成。或者说,这可能涉及到将整个结构建模为一个图,其中每个节点是一个连通区域,边表示两个连通区域之间可以通过某个传送门连接,此时路径长度即为需要切换的次数。 不过,这样的建模可能过于复杂。可能更简单的方式是,将问题视为图中的节点是传送门,边表示两个传送门出现在同一个房间,因此可以互相切换。而房间A和B所在的传送门集合作为起点和终点,寻找从任意起点传送门到任意终点传送门的最短路径,路径长度即为切换次数,而答案是这个长度加1或者不加? 或者,另一种思路是将问题视为每个房间可能属于多个传送门组,而传送门组之间如果有交集(即某个房间同时属于两个传送门组),则这两个传送门组是连通的。此时,问题转化为在传送门组的图中寻找最短路径,从A所在的传送门组到B所在的传送门组的最短路径长度。 这可能需要更详细的建模。 比如,每个传送门对应一个集合,包含所有有该传送门的房间。例如,传送门X对应的集合S_X包含所有有X的房间。当两个传送门X和Y在同一个房间中出现时,它们的集合S_X和S_Y有交集,因此可以将它们视为连通的。这样,传送门之间的连通性可以构成一个图,其中每个节点是传送门,边表示存在至少一个房间同时包含这两个传送门。 此时,从A到B的最短路径可以这样计算:首先,找到所有包含A的传送门,作为起点集合;然后,找到所有包含B的传送门,作为终点集合。问题转化为在传送门图中,找到从任意起点传送门到任意终点传送门的最短路径。路径的长度即为需要经过的传送门数目减一,因为路径中的每个边代表一次切换。例如,路径X → Y → Z的长度为2,表示切换了两次传送门,那么总共有使用了三个传送门(X、Y、Z),但经过的传送门数目是3? 或者,每次切换传送门算一次次数。例如,从X切换到Y算一次,Y切换到Z算第二次,总次数是2,而使用的传送门数目是三个。 此时,问题要求的是最少需要经过几个传送门,即路径上的传送门数目。例如,路径X → Y → Z的传送门数目是3,所以答案是3?或者路径的长度(边数)是2,对应的次数是2? 这个时候需要根据题目描述确定答案的计算方式。题目中的描述是“经过几个传送门”,例如,如果从A出发,使用传送门X到某个中间房间,再使用传送门Y到B,那么经过的传送门是X和Y,所以数目是2。而如果A和B有共同的传送门,那么数目是0或者1? 这时候可能需要再仔细审题。题目中的例子可能没有给出,所以需要根据常规逻辑判断。 比如,当A和B在同一个传送门的连通区域中时,不需要经过任何传送门,直接到达,所以答案是0。否则,每次切换传送门算一次,所以答案就是切换次数。 或者,可能每次使用一个传送门都算一次,例如,从A到中间房间用传送门X,算一次;中间房间到B用传送门Y,算两次,总次数是2。 这个时候,正确的模型应该是将问题建模为图,其中节点是传送门,边表示两个传送门可以在同一个房间中被切换(即存在某个房间同时有这两个传送门)。然后,从所有包含A的传送门出发,到所有包含B的传送门的最短路径的长度,该长度即为需要切换的次数,而答案是该长度加1,因为路径上的每个节点代表一个传送门的使用。例如,路径X → Y → Z的长度是2(边数),表示使用了三个传送门(X、Y、Z),所以答案是3?或者路径长度是切换次数,所以答案是边数? 这个时候可能需要举几个例子来理清思路。 例1:A和B都有传送门X。此时,A和B可以直接互通,不需要经过其他传送门。所以答案是0次? 或者,是否必须使用传送门X一次? 根据题目描述,“相同编号的传送门同时出现在多个房间中,表示这些房间可以互通”。所以,如果A和B都有传送门X,那么他们可以直接互通,不需要经过任何传送门(或者说,使用传送门X一次?)。这个时候,答案可能是0次或者1次,这取决于题意的理解。 例如,题目要求的是“经过几个传送门”,即使用传送门的次数。例如,从A到B需要经过传送门X一次,所以答案是1。或者,因为传送门X连接了A和B,所以可以瞬间移动,不需要“经过”传送门,所以答案是0? 这时候,问题的关键点在于,“经过”传送门的定义。例如,是否需要通过传送门才能移动。例如,如果两个房间有相同的传送门,那么是否必须主动使用该传送门才能移动,还是自动互通? 根据常规的题目设定,通常在这种情况下,如果两个房间有相同的传送门,则可以直接移动,不需要消耗次数。例如,在并查集的结构中,这些房间属于同一个集合,移动无需代价。所以,问题的最短路径可能指的是切换不同传送门的次数。因此,当A和B在同一个传送门的连通区域中时,答案是0次。否则,每次切换传送门需要增加次数。 因此,正确的建模应该是: - 所有房间根据传送门的关系被划分为不同的连通分量。每个连通分量内的房间可以自由移动,无需消耗次数。 - 当需要从一个连通分量移动到另一个连通分量时,必须使用一个传送门,此时次数加1。 因此,问题转化为:找到从A所在的连通分量到B所在的连通分量的最少切换次数。如果A和B在同一个连通分量,答案是0。否则,每次切换连通分量需要一次次数,所以需要找出连通分量之间的最短路径。 但如何确定连通分量之间的连接?例如,两个连通分量之间如果有传送门可以通过某个房间连接,则这两个连通分量可以合并? 这可能比较复杂。例如,如果传送门X和Y出现在同一个房间中,那么所有属于X的连通分量和属于Y的连通分量的房间会被合并成一个大的连通分量。因此,连通分量的形成需要考虑所有传送门之间的关系,即如果两个传送门出现在同一个房间,那么它们所在的连通分量会被合并。 因此,正确的连通分量划分是基于房间之间的传送门共享关系。即,两个房间属于同一个连通分量,当且仅当它们可以通过一系列共享的传送门连接。例如,房间A有传送门X,房间B有传送门X和Y,房间C有传送门Y,那么A、B、C属于同一个连通分量,因为A和B通过X相连,B和C通过Y相连。因此,整个连通分量中的房间可以自由移动,无需消耗次数。 此时,问题转化为:如果A和B在同一个连通分量中,答案为0次。否则,需要找到连接这两个连通分量的传送门切换次数。 但这个时候,如何计算次数?因为连通分量之间的移动可能需要通过多个传送门切换,而每次切换会增加次数。 或者,这个模型可能不正确,因为连通分量的形成方式可能让所有属于同一连通分量的房间无需任何次数即可移动,而不同连通分量之间的移动需要找到一条路径,其中每个步骤是通过某个传送门连接的两个连通分量。这可能需要重新考虑建模方式。 比如,每个连通分量是一个超级节点,边表示存在一个传送门,连接两个不同的连通分量。例如,如果有一个传送门Z存在于某个连通分量的一个房间中,并且另一个连通分量的某个房间也有传送门Z,那么这两个连通分量可以通过传送门Z连接。此时,使用传送门Z可以将两个连通分量合并吗?或者可能这个模型并不适用。 这时候,可能需要回到传送门的建模方式。例如,每个传送门对应一个边,连接所有拥有它的房间。此时,整个图的结构是,所有房间通过传送门连接成多个连通分量。每个连通分量中的房间可以自由移动,无需次数。因此,如果A和B在同一个连通分量,答案是0次。 否则,需要找到一种方式,通过其他传送门连接的不同连通分量,到达B所在的连通分量。但此时,每次进入一个新的连通分量需要消耗一次传送门的使用次数吗? 这可能与题意不符,因为如果A所在的连通分量与另一个连通分量之间没有直接连接,那么可能需要通过其他方式连接,但如何计算次数? 这个时候可能需要重新审视问题。可能正确的思路是,将每个传送门视为一个节点,房间作为边的连接。例如,房间中的传送门之间可以相互到达,所以传送门之间可以通过房间建立连接。然后,问题转化为从A所在的传送门到B所在的传送门的最短路径,每次切换传送门需要一次次数。 例如,房间A有传送门X和Y。房间B有传送门Z。如果房间C有传送门Y和 W,房间D有传送门W和 Z。那么,从X出发,可以到Y(因为A有X和Y),然后从Y到 W(因为C有Y和W),然后从 W到 Z(因为D有 W和 Z)。这样,路径是X → Y → W → Z,共三次切换,所以答案是3次? 或者,从A到C的Y传送门不需要次数,因为属于同一个房间的传送门。或者,每次使用一个传送门需要一次次数? 这个时候可能我的思路出现混乱,需要更系统的分析。 或许应该将问题建模为一个双层图,其中节点可以是房间或者传送门,但这样可能比较复杂。 另一种可能的思路是,将问题视为广度优先搜索,其中状态是当前所在的房间,以及已经使用的传送门集合。但这样状态数可能太大,无法处理大规模数据。 或者,可以将问题建模为传送门之间的图。例如,两个传送门之间如果有共同的房间,则它们之间有一条边。这样,最短路径的长度就是需要使用的传送门数目减一。例如,从传送门X到Y到Z的路径长度为2,所以需要使用的传送门数目是3,答案可能是2次? 或者,答案可能是路径长度,即切换次数。 例如,初始时,在房间A,可以免费到达所有与A的传送门相连的其他房间。因此,所有与A的传送门相连的房间属于第0层。然后,通过使用一个新的传送门(即从未使用过的传送门),可以到达更多房间,此时层数加1。这样,BFS的层数即为需要使用的传送门数目。 因此,正确的做法是: 1. 建立一个图,其中每个房间是节点,如果两个房间有相同的传送门,则它们之间有一条边,权值为0(因为可以免费移动)。 2. 同时,当从一个传送门切换到另一个传送门时,需要权值为1。例如,如果房间R有传送门X和Y,则从X切换到Y需要消耗1次传送门使用。 但这种建模方式可能比较复杂,因为需要同时处理房间之间的免费移动和传送门的切换。 或许更好的方法是,将问题中的每个连通区域视为一个节点,其中连通区域由共享传送门的房间组成。然后,不同连通区域之间如果有房间同时属于其他传送门,则这两个连通区域之间有一条边,权值为1。此时,问题转化为找到从A所在的连通区域到B所在的连通区域的最短路径长度。 例如,连通区域X包含所有有传送门X的房间。如果某个房间同时有传送门X和 Y,则连通区域X和 Y之间存在一条边。这样,从X到Y的切换需要一次次数。然后,最短路径的长度即为答案。 但这样的模型可能无法处理多个传送门共存于同一房间的情况,导致连通区域之间的边较多。 或者,正确的模型应该是,每个传送门对应一个节点,如果两个传送门出现在同一个房间中,则它们之间有一条边。然后,从所有包含A的传送门节点出发,BFS到所有包含B的传送门节点的最短路径长度。此时,路径长度即为需要切换的传送门次数,而答案是该长度+1?或者长度即为次数? 例如,如果路径是X → Y → Z,那么需要从X切换到Y(次数+1),再从Y切换到Z(次数+1),总次数是2。而答案应为2。 此时,假设房间A属于传送门X,房间B属于传送门Z。路径X → Y → Z的长度是2,所以答案就是2。即,每次切换传送门算一次次数。 这样,正确的做法是将所有传送门作为图的节点,如果两个传送门出现在同一个房间中,则它们之间有一条无向边。然后,问题转化为:找到从任意一个包含A的传送门节点到任意一个包含B的传送门节点的最短路径,路径的长度即为答案。 例如,如果A所在的传送门是X和 Y,B所在的传送门是Z和 W。那么需要计算X到Z的最短路径、X到W的最短路径、Y到Z的最短路径、Y到W的最短路径,取最小值。 此时,答案是这个最小值。 现在需要验证这个模型是否正确。 例如,假设A在传送门X,B在传送门Z。传送门X和 Y在同一个房间,传送门Y和 Z在另一个房间。那么,传送门X和 Y之间有一条边,传送门Y和 Z之间有一条边。所以,X到Z的路径是X→Y→Z,长度为2,所以答案是2。 但实际情况下,房间可能允许直接通过多个传送门切换。例如,房间R有X和 Y,房间S有Y和 Z。那么,从X到Y是边,Y到Z是边。因此,路径长度是2。这时,切换次数为2次。例如,从X的连通区域,通过Y切换到Z的连通区域,那么次数是两次? 或者,是否X和 Y在同一個房间,因此使用传送门Y不需要次数? 可能我的模型中的传送门之间的边表示可以免费切换,所以路径长度是切换次数。例如,从X到Y是免费切换(因为同处一个房间),所以路径长度是1(X→Y→Z)的总长度是2?或者传送门之间的边权值是0,因为可以在同一个房间中切换? 这可能会导致模型错误,必须重新考虑。 正确的模型可能应该是:传送门之间的边权值为0,如果它们出现在同一个房间中,因为可以在这些传送门之间自由切换,不需要消耗次数。但是,当使用一个传送门进入一个房间,然后使用另一个传送门离开该房间时,可能需要消耗次数? 或者,每次使用传送门离开一个房间时,算一次次数。例如,从房间R使用传送门X到其他房间不算次数,但使用传送门Y离开房间R的话,需要算一次次数? 这个时候,问题变得更加复杂,可能需要重新思考。 或许,正确的做法是将问题视为,每次使用一个传送门需要消耗一次次数,无论这个传送门是否与之前的相同。例如,从A出发,使用传送门X到达房间C,然后使用传送门Y到达房间B,此时使用了两个不同的传送门,所以答案是2。 但如果房间C有传送门X和 Y,那么从A到C是免费的(因为使用传送门X),而从C到B使用传送门Y,算一次次数? 或者,可能每次进入一个传送门都算一次次数。例如,从A出发,进入传送门X,到达C,这算一次;然后从C进入传送门Y,到达B,这算两次。因此,总次数是2。 在这种情况下,模型应该记录每次使用的传送门,不管是否重复。但题目要求的是“最少需要经过几个传送门”,即经过的不同的传送门数目?或者经过的传送门的总数? 例如,路径A→X→C→X→D→Y→B,其中使用了X两次,Y一次,那么传送门数目是2(X和Y)。或者总次数是3? 根据题目描述,“最少需要经过几个传送门”,应该理解为使用不同传送门的次数。例如,如果使用同一个传送门多次,只算一次。或者,可能是指使用传送门的总次数,每次使用都算一次。 这个时候,问题的描述存在歧义,可能需要根据常规的编程题习惯来判断。通常在类似的题目中,每次使用一个传送门算一次,无论是否重复。例如,路径中的每个传送门使用都算一次。 比如,考虑以下例子: 房间A有传送门1,房间B有传送门2,房间C有传送门1和2。那么,从A到C使用传送门1(次数1),然后从C到B使用传送门2(次数2)。总次数是2。 或者,从A到C无需次数,因为属于同一个传送门1的连通区域,然后从C到B使用传送门2(次数1)。此时,答案是1。 这个时候,正确的建模方式必须确定:当处于某个房间时,可以自由移动到该房间的所有传送门所连接的房间,而无需消耗次数。而每次使用一个传送门的移动都算一次次数吗? 这可能与问题描述中的“经过几个传送门”有关。例如,如果“经过”指的是每次使用一个传送门进行移动,那么每次移动都算一次。例如,从A到C使用传送门1,算一次,从C到B使用传送门2,算两次。但如果C和 B有传送门2,那么从C到B需要使用传送门2,算一次次数。因此,总次数是2。 或者,如果“经过的传送门”指的是所经历的传送门的不同编号的数目,那么例子中的答案是2(1和2)。 这需要根据题意判断。例如,题目中的例子如果A和 B直接相连同一个传送门,那么答案是1次?或者0次? 根据用户的问题描述,正确的答案应该是在这种情况下,若A和 B有共同的传送门,则不需要经过任何传送门,即次数为0。否则,每次切换传送门需要一次次数。 此时,正确的模型应该是,将每个传送门视为一个节点,房间中的传送门之间的切换不需要次数,因为它们可以在同一个房间中自由切换。例如,如果一个房间有传送门X和 Y,那么X和 Y之间可以互相到达,不需要次数。然后,传送门之间的边表示它们在同一个房间中,权值为0。而移动到一个新的传送门组可能需要通过其他传送门,权值为1?或者,可能需要重新考虑。 这个时候,正确的模型可能是一个双层图,其中: - 第一层是房间之间的连通性,通过同一传送门连接,可以自由移动(次数0)。 - 第二层是传送门之间的连通性,通过同一房间连接的传送门可以自由切换(次数0)。 然后,问题转化为,从A出发,通过自由移动(次数0)到任何可达的房间,然后切换到另一个传送门(次数+1),再自由移动,直到到达 B所在的房间。因此,最短路径就是找到最少需要切换的传送门次数。 例如,初始时,A可以自由移动到所有与A的传送门相连的房间。此时,如果B在其中,则次数为0。否则,需要切换到一个新的传送门,次数+1,然后移动到该传送门的所有可达房间,以此类推。 这显然是一个广度优先搜索(BFS)的问题,其中每个状态是当前所在的传送门集合,或者说当前可以到达的所有房间,而每次切换传送门会导致次数加一。 因此,正确的做法是使用BFS,其中每个层次代表当前的传送门使用次数。初始时,可以到达所有与A的传送门相连的房间,这属于次数0。然后,对于所有未被访问过的传送门,如果存在某个房间在当前可达的集合中,并且该房间有未被使用的传送门,则将那些传送门加入下一层,次数加一,并检查这些传送门是否连接到B的房间。 具体步骤如下: 1. 首先,收集所有与A房间直接相连的传送门,这些传送门形成一个集合S。同时,将这些传送门标记为已访问,并将它们所在的房间加入已访问的房间集合。此时,如果B在已访问的房间集合中,则答案是0。 2. 如果B未被访问到,则进行BFS的下一层。对于当前层的每个传送门,找到所有与之相连的房间,然后收集这些房间中的所有其他传送门,这些传送门将作为下一层的节点,次数加一。如果这些传送门中的任何一个连接到B的房间,则返回当前次数。 3. 重复此过程,直到找到B或者所有可能的传送门都被访问过。 这样,每次BFS的层次对应切换传送门的次数。例如,初始层是0次,下一层是1次,依此类推。 这个模型的时间复杂度取决于传送门的数量和房间的数量。假设每个房间可以有多个传送门,那么需要高效地处理传送门之间的关系。 现在,我们需要将这个思路转化为具体的算法步骤,并考虑数据结构的选择。 首先,可以建立两个映射: - 每个传送门对应的房间集合:用字典或哈希表存储,键是传送门编号,值是一个集合,包含拥有该传送门的所有房间编号。 - 每个房间对应的传送门集合:同样用字典存储,键是房间编号,值是该房间拥有的传送门编号集合。 然后,进行BFS的队列中的元素是当前可以访问的传送门集合,以及当前的层数(即使用的传送门次数)。我们需要记录哪些传送门已经被访问过,以避免重复处理。 具体步骤: 1. 首先,检查A和 B是否为同一个房间。如果是,返回0。 2. 初始化: a. 从房间A的所有传送门出发,将这些传送门加入初始队列,并标记为已访问。同时,记录这些传送门所连接的所有房间为一个集合current_rooms。 b. 如果B在current_rooms中,返回0。 3. 否则,初始化队列为这些初始传送门,层数(steps)为0。 4. 进行BFS: a. 对于队列中的每个传送门,获取其对应的房间集合。 b. 对于每个房间,检查是否包含B。如果是,返回当前层数。 c. 否则,对于每个房间,遍历其所有的传送门。对于每个未访问过的传送门,将其加入下一层的队列,并标记为已访问。 d. 层数加一,处理下一层。 5. 如果队列处理完毕仍未找到B,返回-1(不可达)。 但这个步骤可能存在问题,因为队列中的元素是传送门,而不是房间。或者,可能需要重新设计队列中的元素为当前可到达的房间集合,或者当前可使用的传送门集合。 另一种可能的BFS设计是,队列中存储的是当前可以使用的传送门集合,每个步骤代表使用这些传送门可以到达的房间,并探索下一层的传送门。 或者,更好的模型是,每次BFS的层级代表已使用的传送门次数。初始时,可以访问所有与A的传送门相连的房间,次数为0。然后,每次使用一个新的传送门,次数加一,可以到达更多房间。 这类似于层序遍历,其中每层代表已使用的传送门次数。 具体算法: - 使用一个队列来存储当前的传送门集合,并记录当前的层数。 - 使用一个集合来记录已访问过的传送门,防止重复处理。 - 使用一个集合来记录已访问过的房间,一旦发现B房间在其中,立即返回当前层数。 步骤如下: 1. 初始化: a. 获取房间A的所有传送门,记为start_portals。 b. 将这些传送门加入队列,层数初始为0。 c. 将start_portals中的每个传送门标记为已访问。 d. 获取这些传送门对应的所有房间,记为current_rooms。如果B在其中,返回0。 2. 否则,进行以下循环: a. 对于队列中的每个传送门(当前层),收集所有可以到达的房间(即这些传送门对应的房间集合)。 b. 检查B是否在这些房间中。如果有,返回当前层数。 c. 否则,对于所有可以到达的房间中的每个传送门,如果未被访问过,则加入下一层的队列,并标记为已访问。 d. 层数加一。 3. 如果队列为空,返回-1。 这个模型的每个层级代表已使用的传送门次数。例如,初始层0表示使用A的原始传送门,没有切换。下一层1表示切换到新的传送门,次数为1次。 这样,每次切换传送门,次数加一,并且探索新传送门对应的房间。如果B在这些房间中,则返回当前次数。 这样,这个算法的时间复杂度是O(P + R),其中P是传送门的总数,R是房间的总数,假设使用适当的数据结构来存储房间与传送门的关系。 现在,举几个例子来验证算法的正确性。 例1: 房间1(A)有传送门X。 房间2(B)有传送门X。 则,初始current_rooms包括房间1和 2(因为传送门X对应的房间集合包含这两个房间)。发现B在其中,返回0次。正确。 例2: 房间A(1)有传送门X. 房间3有传送门X和 Y. 房间4有传送门Y. 房间B(2)有传送门Y. 初始层0:传送门X对应的房间1,3。检查B(房间2)不在其中。进入下一层。 层1:对于房间1和3中的所有传送门,即X和 Y。其中X已访问,Y未访问。处理Y对应的房间3和4。检查房间3和4是否包含B(房间2)?假设不。进入下一层。 层2:房间3的传送门已处理,房间4的传送门Y,此时寻找其他传送门吗?或者此时处理Y对应的房间是3和4。而B在房间2,所以还未找到。此时算法可能无法找到路径,但实际房间B有传送门Y,所以Y对应的房间包括房间2吗? 哦,这例子中的设定可能存在问题。假设房间2有传送门Y,那么传送门Y对应的房间包括房间3、4、2。因此,在层1的处理中,传送门Y被加入队列,此时对应的房间是3、4、2。发现B(房间2)在其中,所以返回层数1。 这样,答案是1次。正确,因为从房间1使用传送门X到房间3,然后切换到传送门Y,此时可以到达房间2。传送门的使用次数是1。 这表明算法的正确性。 另一个例子: 房间A(1)有传送门X. 房间3有传送门X和 Y. 房间4有传送门Y和 Z. 房间B(2)有传送门Z. 初始层0:传送门X对应的房间1和3。B不在其中。层数0。 下一层,处理X对应的房间中的其他传送门,即房间1和3。房间1只有X,房间3有X和 Y。对于Y,未被访问过。加入队列,层数1。此时传送门Y对应的房间3和可能其他房间。假设房间3的Y对应的房间包括其他房间吗?比如,传送门Y是否还存在于其他房间?比如,假设房间5有Y,那么传送门Y对应的房间是3、5等。但在本例中,房间3和4有传送门Y。可能我的例子设定需要调整。 假设房间3有传送门X和 Y,房间4有传送门Y和 Z,房间2(B)有传送门Z. 那么,初始层0:传送门X的房间是1和3。B不在其中。 层1:处理传送门Y(未被访问过),Y的房间是3和4。检查房间3和4是否包含B(房间2)?否。层数1。 层2:处理传送门Y对应的房间中的其他传送门。比如,房间3的其他传送门是X(已访问),房间4的其他传送门是Y(已访问)和 Z(未访问)。所以将传送门Z加入队列,层数2。传送门Z的房间是4和2。检查房间2在其中,是B。所以返回层数2。答案是正确的,因为需要经过X→Y→Z,切换两次,次数是2。 这表明算法正确。 综上所述,正确的做法是使用BFS,每次处理当前层的传送门,收集这些传送门对应的房间,如果B在其中则返回当前层数。否则,收集所有未被访问过的传送门,并加入下一层,层数加一。 现在,我们需要将这个算法转化为具体的代码实现,并确保时间效率。 数据结构方面: - 需要两个映射: - portal_to_rooms:字典,键是传送门编号,值是该传送门所在的房间集合。 - room_to_portals:字典,键是房间编号,值是该房间拥有的传送门集合。 算法步骤: 1. 输入:N(房间数,可能不需要具体数值),传送门信息(每个房间的传送门列表),A和B。 2. 如果A == B,直接返回0。 3. 构建portal_to_rooms和room_to_portals。 4. 获取A房间的所有传送门,start_portals = room_to_portals[A] 5. 初始化队列,将start_portals中的所有传送门加入队列,并标记为已访问。 6. 使用一个集合visited_portals来记录已访问的传送门。 7. 初始化visited_portals包含start_portals中的所有传送门。 8. 初始化current_rooms为所有被start_portals中的传送门所连接的房间。即,对于每个p in start_portals,current_rooms.update(portal_to_rooms[p]) 9. 如果B在current_rooms中,返回0。 10. 否则,初始化层数steps=0。 11. 进入BFS循环: a. 初始化下一层的传送门集合next_portals. b. 遍历当前层的所有传送门: 对于每个传送门p in队列中的当前层: i. 遍历p对应的所有房间: 对于每个房间r in portal_to_rooms[p]: - 遍历房间r的所有传送门q in room_to_portals[r]: - 如果q不在visited_portals中: * 将q加入next_portals * 将q加入visited_portals c. 检查next_portals是否为空。如果是,返回-1(不可达)。 d. 对于next_portals中的每个传送门q,收集其对应的房间,检查是否包含B。 即,检查B是否存在于portal_to_rooms[q]中的房间集合。 如果存在,返回steps + 1. e. 否则,将next_portals设为当前层,steps +=1,重复循环. 这样,每次处理的是当前层的传送门,收集下一层的传送门。每次层数steps初始为0,处理完当前层后,steps增加。 例如,初始层是start_portals(层0),处理后收集next_portals,层数变为1。然后检查这些next_portals对应的房间是否包含B。如果有,返回1。否则,继续收集下一层。 这个算法是否正确? 举个例子,当初始的传送门集合对应的房间包含B吗?比如,如果A和B有共同的传送门,那么初始current_rooms就会包含B,此时返回0。否则,进入BFS循环。 在BFS的每一步,处理的是当前层的传送门,收集下一层的传送门。然后,检查下一层的传送门对应的房间是否包含B。如果是,返回当前的steps+1。 这样,层数steps的初始值是0(处理初始传送门层),当下一层传送门处理后,steps变为1,此时如果发现B在对应的房间中,返回1。 这符合之前的例子,例如,初始层是传送门X,下一层是传送门Y,发现Y对应的房间包含B,返回1. 因此,该算法是正确的。 现在,考虑代码实现。由于用户要求的是算法思路,而不是具体的代码,所以需要将这个过程描述清楚。 总结解题步骤: 1. 检查A和B是否相同,如果是,直接返回0。 2. 建立传送门到房间的映射和房间到传送门的映射。 3. 使用BFS,初始队列为A房间的所有传送门。 4. 对于每一层的传送门,收集它们对应的所有房间,检查是否包含B。 5. 如果不包含,则收集这些房间中所有未访问过的传送门,加入下一层队列,并增加步数。 6. 重复直到找到B或队列为空。 该算法的时间复杂度主要取决于传送门的数量和房间的数量。每个传送门最多被访问一次,每个房间的处理次数取决于其拥有的传送门数量。总的时间复杂度是O(P + R + E),其中E是房间与传送门之间的关联数。 最后,需要注意的是,如果无法到达B,应返回-1或者某种指示不可达的标志。</think>要解决该问题,我们可以将其建模为图论中的**广度优先搜索(BFS)**问题。关键在于将传送门之间的关联转化为图结构,通过逐层探索不同传送门的最短路径来找到最少传送次数。以下是具体思路: --- ### 问题建模 1. **传送门的作用**:若多个房间有相同传送门,则它们属于同一**连通区域**,可自由移动(无需消耗次数)。 2. **切换规则**:每次使用**新传送门**时,消耗一次次数。例如,从传送门A切换到传送门B,次数+1。 --- ### 算法步骤 1. **数据映射**: - `portal_to_rooms`:记录每个传送门对应的房间集合。 - `room_to_portals`:记录每个房间包含的传送门集合。 2. **初始化**: - 若起点A和终点B是同一房间,直接返回0。 - 获取A房间的所有传送门,作为BFS的起点。 3. **广度优先搜索(BFS)**: - **队列**:存储当前层的传送门,初始化为A的传送门。 - **已访问标记**:记录已处理的传送门,避免重复。 - **层数**:表示已使用的传送次数,初始为0。 4. **逐层探索**: - 检查当前层所有传送门对应的房间是否包含B。若存在,返回当前层数。 - 若未找到,收集当前所有房间中未访问的传送门,加入下一层队列,层数+1。 - 重复直到找到B或队列为空。 --- ### 实现示例(伪代码逻辑) ```python from collections import deque def min_portals(N, portals, A, B): if A == B: return 0 # 建立映射关系 portal_to_rooms = {} room_to_portals = {} for room in range(1, N+1): for p in portals[room-1]: if p not in portal_to_rooms: portal_to_rooms[p] = set() portal_to_rooms[p].add(room) room_to_portals[room] = set(portals[room-1]) # 初始队列:A房间的所有传送门 start_portals = room_to_portals.get(A, set()) visited = set(start_portals) queue = deque(start_portals) steps = 0 # 检查初始层是否包含B current_rooms = set() for p in start_portals: current_rooms.update(portal_to_rooms[p]) if B in current_rooms: return steps # BFS while queue: steps += 1 level_size = len(queue) next_portals = set() for _ in range(level_size): p = queue.popleft() # 遍历该传送门对应的所有房间 for room in portal_to_rooms.get(p, []): # 检查房间的所有传送门 for q in room_to_portals.get(room, []): if q not in visited: visited.add(q) next_portals.add(q) # 检查下一层的传送门是否通向B for q in next_portals: if B in portal_to_rooms.get(q, []): return steps queue.extend(next_portals) return -1 # 不可达 ``` --- ### 复杂度分析 - **时间复杂度**:$O(P + R + E)$,其中 $P$ 为传送门总数,$R$ 为房间数,$E$ 为房间与传送门的关联数。 - **空间复杂度**:$O(P + R)$,用于存储映射关系。 --- ### 示例说明 1. **直接互通**: - A和B有相同传送门,无需切换,返回0。 2. **间接互通**: - A有传送门X,B有传送门Z。若存在房间C同时有X和Y,房间D有Y和Z,则需切换两次(X→Y→Z),返回2。 该算法通过BFS逐层探索,确保找到最短路径。
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