HDU2138 随机素数测试 Miller-Rabin算法

题目描述

  Give you a lot of positive integers, just to find out how many prime numbers there are..

  In each case, there is an integer N representing the number of integers to find. Each integer won’t exceed 32-bit signed integer, and each of them won’t be less than 2.

  32-bit signed intege，最普通的肯定要超时，筛选法要超内存，开小的话就越界。

miller_rabin算法 

一.费马小定里

if n is prime and gcd(a,n) equals one ,then a^(n-1) = 1 (mod n)

费马小定理只是个必要条件,符合费马小定理而非素数的数叫做Carmichael.

前3个Carmichael数是561,1105,1729。

Carmichael数是非常少的。

在1~100000000范围内的整数中，只有255个Carmichael数。

为此又有二次探测定理,以确保该数为素数:

二.二次探测定理

二次探测定理 如果p是一个素数，0<x<p,则方程x^2≡1(mod p)的解为x=1,p-1

根据以上两个定理,如到Miller-Rabin算法的一般步骤:

0、先计算出m、j，使得n-1=m*2^j，其中m是正奇数，j是非负整数

1、随机取一个b，2<=b

2、计算v=b^m mod n

3、如果v==1，通过测试，返回

4、令i=1

5、如果v=n-1，通过测试，返回

6、如果i==j，非素数，结束

7、v=v^2 mod n，i=i+1

8、循环到5

说明:

Miller-Rabin是随机算法

得到的结果的正确率为75%,所以应该多次调用该函数,使正确概率提高为1-(1/4)^s

代码

#include < stdio.h >
#include < stdlib.h >
#include < cmath >
bool witness(__int64 a,__int64 n)
{
__int64 t,d,x;
d = 1 ;
int i = ceil(log(n - 1.0 ) / log( 2.0 )) - 1 ;
for (;i >= 0 ;i -- )
{
x = d; d = (d * d) % n;
if (d == 1 && x != 1 && x != n - 1 ) return true ;
if ( ((n - 1 ) & ( 1 << i)) > 0 )
d = (d * a) % n;
}
return d == 1 ? false : true ;
}
bool miller_rabin(__int64 n)
{
if (n == 2 ) return true ;
if (n == 1 || ((n & 1 ) == 0 )) return false ;
for ( int i = 0 ;i < 50 ;i ++ ){
__int64 a = rand() * (n - 2 ) / RAND_MAX + 1 ;
if (witness(a, n)) return false ;
}
return true ;
}
int main()
{
int n,cnt;
__int64 a;
while (scanf( " %d " , & n) != EOF)
{
cnt = 0 ;
while (n -- )
{
scanf( " %I64d " , & a);
if (miller_rabin(a))
cnt ++ ;
}
printf( " %d\n " ,cnt);
}
return 0 ;
}

 

上面代码参考的是吉林大学2003年的模板，在杭电上109MS A掉。下面是网上31MS代码的miller_rabin函数，其它部分与上述代码一致。

我们发现，它只调用witness函数3次，每次都a为2,7,61，正确率显然没上面高，到时间倒挺快啊^_^

bool miller_rabin(__int64 n)
{
int s[] = { 2 , 7 , 61 };
if (n == 2 ) return true ;
if (n == 1 || ((n & 1 ) == 0 )) return false ;
for ( int i = 0 ;i < 3 ;i ++ )
if (witness(s[i], n)) return false ;
return true ;
}

 

转载于:https://www.cnblogs.com/DreamUp/archive/2010/09/07/1820702.html