树状数组--区间求和

        树状数组 是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构，假设数组a[1..n]，那么查询a[1]+...+a[n]的时间是 log(n)级别的。所以如果要解决“数组中的元素不断被修改，怎么才能快速地获取数组中连续m个数的和”这个问题的话，用树状数组就再好不过了

　　首先，什么是树状数组呢？树状数组就是用另外一个数组再保存当前数组的值，设树状数组为C[n]，那么有C[i] = a[i - 2^k + 1] + ... + a[i]（其中k为i的二进制末尾0的个数）。在这里，2^k代表2的k次方。如果n=8，则c的值如下：

　　C1 = A1

　　C2 = A1 + A2

　　C3 = A3

　　C4 = A1 + A2 + A3 + A4

　　C5 = A5

　　C6 = A5 + A6

　　C7 = A7

　　C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

       用图来表示的话，就如下图，是不是有点像一棵树啊？

       

　　在算法方面：
　　算2^k有一个快捷的办法，代码如下，这个就不用多解释了：

　　int lowbit(int x){

　　return x&(x^(x–1));

　　}

　　其次是求和的过程：

      当想要查询一个SUM(n)(求a[n]的和），可以依据如下算法即可：

　　step1:　令sum = 0，转第二步；

　　step2:　假如n <= 0，算法结束，返回sum值，否则sum = sum + Cn，转第三步；

　　step3:   令n = n – lowbit(n)，转第二步。

　　可以看出，这个算法就是将这一个个区间的和全部加起来，为什么是效率是log(n)的呢？以下给出证明：

　　n = n – lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1，所以查询效率是log(n)的。

       当然，如果你要求的是第i个数到第j个数的和的话，调用sum(j) - sum(i - 1)就行了

　　那么修改呢，修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log(n)的祖先。

　　所以修改算法如下（给某个结点i加上x）：

　　step1: 当i > n时，算法结束，否则转第二步；

　　step2: Ci = Ci + x， i = i + lowbit(i)转第一步。

　　i = i +lowbit(i)这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。

      最后贴一下代码吧，由于算法在上面已经讲得比较详细，所以在这里就不多加注释了

#include <stdio.h>
#define MAXN 11

int c[MAXN] = {0};
int a[MAXN] = {0};

int lowbit(int n)//确定2的k次方
{
	return n & (n ^ (n - 1));
}


void built(int n) //建树的过程
{
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		for (int j = i - lowbit(i) + 1; j <= i; ++j)
		{
			c[i] += a[j];
		}
	}
}


void add(int num, int pos, int n)
{
	if (pos > n)
	{
		return;
	}
	c[pos] += num;
	pos += lowbit(pos);
	add(num, pos, n);
}


int sum(int n)
{
	int total = 0;
	while (n > 0)
	{
		total += c[n];
		n -= lowbit(n);
	}
	return total;
}


int main()
{
	for (int i = 1; i < 11; ++i)
	{
		scanf("%d", &a[i]);
	}
	built(10);
	while (true)
	{
		printf("please input the instruct:1 for add, 2 for sum\n");
		int instruct = 0;
		scanf("%d",&instruct);
		if (1 == instruct) //修改数组
		{
			printf("please input the pos and the number to add\n");
			int pos = 0;
			int num = 0;
			scanf("%d %d", &pos, &num);
			add(num, pos, 10);
		}
		else  //求和
		{
			printf("please input the n\n");
			int n = 0;
			scanf("%d", &n);
			printf("%d\n", sum(n));
		}
	}
	return 0;
}