神经网络模型介绍

本文在介绍神经网络算法模型基础知识的同时，详细阐述了正向传播神经网络的计算过程。

斯坦福大学教授Andrew Ng（吴恩达）在Coursera网课平台上开设的Machine Learning课程，非常适合机器学习新手入门，看过之后有种豁然开朗的感觉。但这门课程是英文讲解的，况且对于快速理解神经网络算法来讲，观看视频课程全面学习Machine Learning的知识体系，效率自然不如阅读专题文章。这是我花费精力写这篇文章的主要原因。本文结构与算法描述方式也主要借鉴于Andrew Ng的课程。只是在细节的地方做了些调整和补充。在这里提前做出说明，避免误被控诉为抄袭。

写本文之前，我查阅了大量网络上相关的文章。发现这些文章大多存在两个极端：一部分太注重于解释神经网络的感性理解，忽略了数学基础，太过简单；另一部分则又过于学术化，大量的复杂公式推导，让很多感兴趣的读者望而却步。我以为，尽管神经网络听上去很深奥，但其实要理解并掌握它的算法原理，并非那么困难。因此，本文想要从感性理解和理性认知两者中间找到合适的平衡，暂且跳过复杂的参数求解过程，从简单的理论出发，一步步阐述神经网络的基本计算方式，让读者可以快速对神经网络算法有个比较直观的认识。

建议英文基础较好，并且有精力的读者学习Andrew的这门课程，我将链接附在这里：https://www.coursera.org/learn/machine-learning

1.神经网络算法的创造缘由

在基础机器学习中，Linear Regression和Logistic Regression都能够拟合输入和输出之间的定量关系，并根据新的输入预测输出值或者进行分类。那为什么还需要神经网络这样的复杂算法呢？主要有两方面的原因：一是现实生活中的很多问题并非线性的。二是在Linear Regression和Logistic Regression模型中，当输入特征的数量比较大时，模型参数的解算效率会非常低。并且随着输入特征数量的增长，参数解算效率以指数形式降低，非常不利于模型学习和应用。

1.1 非线性问题

非线性问题比线性问题要复杂的多，但却是现实世界中的最常见的问题形式。对于非线性问题，Linear Regression和Logistic Regression不能达到很好的效果。简单举个例子。假设有两个输入要素，分别是$x_1,x_2\in R$，下图表示了$x_1$和$x_2$构成的两个不同类别的点分布情况。可以看到，这两个类别是没有办法用一条直线进行分割的。现为了区分开这两个类别，在Logistic Regression模型中，就需要引入高阶变量，例如$x_1{x}_2,x_1^2{x}_2,x_1{x}_2^2$等等作为新的输入要素加入模型，这首先会带来输入要素的数量增加，且高阶变量自然会让模型变得更加复杂，同时容易引起Overfitting的问题。

1.2 大量特征带来的问题

除了上面讲到的非线性问题导致的特征数量增多的情况，现实生活中的很多问题，其特征本来就是非常多的。计算机视觉问题就是典型的例子。图像通过像素矩阵来表示现实世界的物体，像素矩阵中的点往往非常多，将这些像素点的值作为特征输入模型，庞大的特征数量是显而易见的。而当特征数量上升时，线性回归和逻辑回归模型会让求解变得非常慢。事实上，这个关系根据使用的输入特征阶数的不同，线性回归和逻辑回归模型的参数求解会有$O(n^2)、O(n^3)$等时间复杂度。传统的输入特征为1~1000时尚可接受，而一个普通$50\ast 50$的灰度图像像素矩阵，输入特征都是2500个，更别说更大、更复杂的图像了，

2.神经网络模型表示

2.1 神经网络的结构和数学定义

（1）模型结构

神经网络模型包含三个部分：input layer（输入层）、hidden layer（中间层或隐藏层）、output layer（输出层）。其中，hidden layer的层数不固定，在某些简单问题中，hidden layer的层数可能为0，仅有input layer和output layer；在复杂问题中，hidden layer的层数也可能成百上千。

模型中每一层的节点称为“神经元”。位于input layer的神经元对应着训练数据的特征。hidden layer和output layer中的神经元由activation function（激活函数）表达，我们用字母$g$表示。Activation function有很多种类型，最常用是sigmoid函数，它的表达式如下：
$$sigmoid(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$$
sigmoid函数图像如下图所示。当$x>>0$时，$f(x)$无限逼近于1；当$x<<0$时，$f(x)$无限逼近于0；当$x=0$时，$f(x)=0.5$。

（2）训练样本数据

为了深入阐述神经网络模型算法过程，我们来定义一些需要用到的数学变量和符号。

我们用$x$表示输入的特征向量，$x_i$表示单独的特征变量。$y$表示真实类别标签向量，$y_i$对应单独的真实类别，为了简单起见，我们先从二元分类讲起，也就是说 y ∈ { 0 , 1 } y∈\{0,1\} y∈{ 0,1}。假如，我们想训练一个神经网络模型，根据房子的某些特征自动判断该房子是否为别墅，那么特征向量$x$就可以表示为：
$$x=\left[\begin{array}{c}{x}_1=卧室数目\\ x_2=客厅面积\\ x_3=总体面积\\ ...\end{array}\right]$$
其中，卧室数目、客厅面积、总体面积等等数据都是特征变量，它们共同衡量了房子的属性。并且，我们定义当$y=1$时，表示该房子为别墅；当$y=0$时，表示房子为其他类型。这样，我们就可以收集整理一些如下表所示的训练样本数据：

卧室数目（$x_1$）	客厅面积（$x_2$ ）	总体面积（$x_3$）	…	别墅？
8	60	300	…	1
2	20	90	…	0
…	…	…	…	…
10	80	400	…	1

（3）模型数学表示

为了方便使用数学表示，我们不单独为input layer、hidden layer和output layer定义数学表示，而是使用 a = { a ( 1 ) , a ( 2 ) , a ( 3 ) , . . . , a ( n ) } a=\{a^{(1)}, a^{(2)}, a^{(3)},...,a^{(n)}\} a={ a(1),a(2),a(3),...,a(n)}来表示从左到右的各个层。例如在简单的三层神经网络模型中，$a^{(1)}$表示输入层，$a^{(2)}$表示中间层，$a^{(3)}$表示输出层。用${\theta }_j^{(i)}$来表示各层对应的权重参数，$i$表示层号，$j$表示该层中的神经元。由此，一个简单的三层神经网络模型中，各个结构的数学可以表示如下图：

2.2 Forward Propagation

我们以Forward Propagation（正向传递）计算过程为例，详细介绍神经网络模型当中的数学计算。为了简单起见，我们以下图中展示的神经网络模型为例。这里我们先暂时不介绍模型参数求解相关方法，而是假设已经计算得到了所有的模型参数值。

在这个模型中，第一层有2个神经元，分别用 x 1 , x 2 x_1, x_2 x1​,x