hdu 1024 Max Sum Plus Plus

题意

n个数取m个不重合的部分使和最大，求这个最大值。

思路

枚举比大小的思路肯定不可取，尝试动态规划。
动态规划最自然的想法是：求n个数取若干部分和的最大值，子问题就是对n-1个数取若干部分和的最大值。
设a[n]为n个数的序列，dpp[n][m]为n个数取m部分的最大值，可以有两种决策达到dpp[n][m]的状态：

1. 第n个数构成第m部分
2. 第n个数不构成第m部分

所以状态转移方程，$1\le x\le n-m+1$：
$$dpp[n][m]=max(max(dpp[n-x][m-1]+\sum _{i=n-x+1}^{n}a[i]),dpp[n-1][m])$$
对于这个方程我们考虑实现，n需要一层遍历，m需要一层遍历，x需要一层遍历，变成的$O(n^3)$的算法，应该会超时。
尝试优化第一个决策引入的x，尝试消除x的影响。
设dp[n][m]为n个数取m部分的最大值，且第n个数构成第m部分，之所以这样设是因为我观察到$max(dpp[n-x][m-1]+{\sum }_{i=n-x+1}^{n}a[i])$中有这样（dp[n][m]）的部分。（有点类似最长上升子序列的状态）
$$dp[n][m]=max(dpp[n-x][m-1]+\sum _{i=n-x+1}^{n}a[i])$$
$$=max(dpp[n-x][m-1]+\sum _{i=n-x+1}^{n-1}a[i])+a[n]$$
$$=max(dpp[n-1][m-1],dp[n-1][m])+a[n]$$
这样消除了x的影响，变成了$O(n^2)$的算法。回过头在看最后公式的两部分可以看成：

• 第n个数独立构成第m部分的情况
• 第n个数和前面的数一同构成第m部分的情况

同时$dpp[n][m]=max(dp[n][m],dpp[n-1][m])$
由于状态转移方程只涉及相邻项的关系，所以可以状态压缩。（注意顺序）
这题动态规划的边界条件是试出来的，详情看代码。
看到航电discuss的另一中写法，把分成m部分看成阶段。

代码

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
const LL INF = -1e18;
int s[1000010];
LL dp[1000010];
LL dpp[1000010];

int main(){
	int m, n;
	while(~scanf("%d%d", &m, &n)){
		dpp[0] = dp[0] = 0;
		for(int i = 1; i <= m; ++i){
			dp[i] = INF;
			dpp[i] = INF;
		}
		for(int i = 1; i <= n; ++i){
			scanf("%d", s + i);
			for(int j = min(i, m); j > 0; --j){
				dp[j] = max(dpp[j-1], dp[j]) + s[i];
				dpp[j] = max(dpp[j], dp[j]);
			}
		}
		printf("%I64d\n", dpp[m]);
	}
	return 0;
}

总结

1. 第一次感觉数学是一个工具，并且是一个好工具。