算法回顾 - 动态规划 之 最长公共子串问题

最长公共子串问题：

  一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列，例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。最长公共子串就是求给定两个序列的一个最长公共子序列。

问题分析：
    给定两个序列A和B，称序列Z是A和B的公共子序列，是指Z同是A和B的子序列。问题要求已知两序列A和B的最长公共子序列。如采用列举A的所有子序列，并一一检查其是否又是B的子序列，并随时记录所发现的子序列，最终求出最长公共子序列。这种方法因耗时太多而不可取。

    考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题：

    设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质： 
（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列； 
（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列； 
（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

    这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个 最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列 和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

    以上思路已经可以用递归来实现，但时间复杂度很高，为指数级别。因为有重复子问题，可用动态规划来避免重复子问题的重复计算。

    为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法，具体说明如下。 
定义c[i][j]为序列“a0，a1，…，ai-2”和“b0，b1，…，bj-1”的最长公共子序列的长度，计算c[i][j]可递归地表述如下： 
（1）c[i][j] = 0                         如果i=0或j=0； 
（2）c[i][j] = c[i-1][j-1]+1             如果i,j>0，且a[i-1] = b[j-1]； 
（3）c[i][j] = max{c[i][j-1], c[i-1][j]} 如果i,j>0，且a[i-1] != b[j-1]。 
按此算式可写出计算两个序列的最长公共子序列的长度函数。由于c[i][j]的产生仅依赖于c[i-1][j-1]、c[i-1][j]和c[i][j-1]，故可以从c[m][n]开始，跟踪c[i][j]的产生过程，逆向构造出最长公共子序列。

源代码如下：

#include <string.h>
#include <stdio.h>

#define N 100

char a[N], b[N], str[N];
int c[N][N];

int lcs_len(char* a, char* b, int c[][N])
{
    int m = strlen(a), n = strlen(b), i, j;

    for( i=0; i<=m; i++ )     
        c[i][0]=0;
    for( i=0; i<=n; i++ )     
        c[0][i]=0;

    for( i=1; i<=m; i++ )  
    {
        for( j=1; j<=n; j++ )
        {
            if (a[i-1]==b[j-1])
                c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
            else if (c[i-1][j]>=c[i][j-1])
                c[i][j]=c[i-1][j];
            else
                c[i][j]=c[i][j-1];
        }
    }

    return c[m][n];
}

char* build_lcs(char s[], char* a, char* b)
{
    int i = strlen(a), j = strlen(b);
    int k = lcs_len(a,b,c);
    s[k] = '/0';
    while( k>0 )
    {
        if (c[i][j]==c[i-1][j])  
            i--;
        else if (c[i][j]==c[i][j-1])  
            j--;
        else
        { 
            s[--k]=a[i-1];
            i--; j--;
        }
    }

    return s;
}

void main()
{  
    printf("Enter two string (length < %d) :/n",N);
    scanf("%s%s",a,b);
    printf("LCS=%s/n",build_lcs(str,a,b)); 
}