柯西-施瓦茨不等式

最新推荐文章于 2025-11-12 12:57:53 发布

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若x和y是实或复内积空间的元素，x与y的内积记作 $\langle x,y\rangle$ ，那么

$\big| \langle x,y\rangle \big|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle$ 。

等式成立当且仅当x和y线性相关。

柯西—施瓦茨不等式的一个重要结果，是内积为连续函数，甚至是满足1阶利普希茨条件的函数。

柯西—施瓦茨不等式有另一形式，可以用范数的写法表示：

$|\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|\,$ 。

柯西—施瓦茨不等式的矢量形式 $\vec A =(a_1,a_2) , \vec B =(b_1,b_2)$ ：

$|\vec A \cdot \vec B |\leq |\vec A||\vec B|$

等号成立于 $\vec A \|\vec B$

柯西—施瓦茨不等式的一般形式

$(a_1 b_1+a_2 b_2)^2\leq(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)$

等号成立于 $a_1 b_2=a_2 b_1$

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