相频响应与群延迟

相频响应与群延迟

        虽然相频响应反映了系统对不同频率信号的处理时间，但并不是说相频响应越大，系统的处理时间越长。从一个简单的正弦信号exp(j*w*n)可以知道，其相位为w*n，也即是说相位不仅和时间有关，还和频率有关。在信号处理中，群延迟(Group Delay)是用来表征系统延迟时间的另外一个概念，其数学定义式如下：

                                                                              

由上述定义式可以很明显地看出，群延迟更具体地表达了系统对不同频率信号的时间延迟。那么我们很自然地要问，群延迟和相频响应到底有何不同呢？

        先来看一个具体的例子。假定一个信号是由两个不同频率的正弦信号叠加而成，其波形如图1 (a)所示。若将此信号通过一个反相器，即对信号乘以-1的系统，很显然反相器的相频响应是fai=pi。通过这个系统后的信号波形如图1 (b)所示。若将此信号通过一个无失真传输系统，即系统的单位冲激响应为h(n)=delta(n-n0)，其中n0为常数。很显然，无失真系统的群延迟为tao=n0。通过这个系统后的信号波形如1(c)所示。对比这3个信号的波形可以看出，相比原始信号(a)，通过反相器之后得到的信号(b)已经和原始信号在细节上完全不同。而通过无失真系统后的信号(c)在细节上和原始信号完全一样，只是在时间上有所延迟。

图1  相频响应与群延迟

        从上面的这个例子可以看出，相频响应和群延迟虽然都反映系统对不同频率信号的延迟，但两者的意义还是有所不同。相频响应反映的是系统对输入信号延迟的相对值，群延迟反映的是系统对输入信号延迟的绝对值。对于频率成分比较复杂的信号，相频响应为常数反而会造成信号的失真；群延迟为常数的系统才不会对信号产生失真。要求信号通过系统后不产生失真是很多应用场合的内在要求，比如通信信号的传输，这时候就要求系统的群延迟为常数。从群延迟的计算公式可以看出，如果群延迟为常数，则对应的相频响应有fai=-w*n0这样的形式，这也称为系统的线性相位。

        在实际的信号处理当中，群延迟往往是用来衡量系统对输入信号是否产生失真，因此有的地方也称为包络延迟。而相频响应的使用则要广泛得多，这是因为一方面群延迟的计算需要用到微分，而且还需要先计算解模糊之后的相频响应，运算比较复杂；另一方面是群延迟所表示的物理意义在相频响应上也能很好地表现，比如线性相位就完全表现了群延迟为常数这种情况，这也表明相频响应是一个比群延迟内涵更宽泛的概念。