单径瑞利信道中的BPSK相干解调的（理论）误码率性能

引言

最近完成老师给的作业，题目如下：

（1）请推导出单径瑞利信道中的BPSK相干解调的理论误码率性能，并画出比特信噪比与误码率的关系曲线。
（2）在单径瑞利信道中，请设计一种时分的导引辅助的信道估计方法，用Simulink进行仿真，测量BPSK的误码率性能，画出比特信噪比与误码率的关系曲线，并与(1)的曲线进行对比。

对于BPSK的调制解调，可以参考之前的文章：

BPSK调制解调

理论差错率推导

BPSK一般是输入±1进行调制。在此处，我们假设输入信号为：$s_1(t)=g(t)$和$s_2(t)=-g(t)$。其中$g(t)$是在区间$[0,T_b]$非零而在其他处为零的任意脉冲，其能量为${\xi }_g$。

则输入信号可表示为$s_1(t)=\sqrt{{\xi }_b}$和$s_2(t)=-\sqrt{{\xi }_b}$。假设两个信号是等概发送的，再假设此时发送信号$s_1$。

在小尺度衰落信道中，发送信号$s_1(t)$将发送乘性失真，单径瑞利衰落信道意味着至少在一个信号传输间隔内，乘法过程可以看做是乘一个常数。因此，当发送信号$s_1(t)$时，在一个信号传输间隔内的等效低通接收信号为：
$$r_1(t)=a{e}^{-j\varphi }{s}_1(t)+z(t)(0\le t\le T)\text{\hspace{1em}(1)}$$
式（1）中，$z(t)$表示恶化信号的复高斯白噪声过程。

假设信道衰落足够慢,以致于相移$\varphi$能够从接收信号中无误差地估计出来。在这种情况下,能够实现接收信号的理想相干检测。于是,接收信号可用一个匹配滤波器来处理。

那么接收端经过匹配滤波器得到的解调信号应该为：$$r=a{s}_1+n=a\sqrt{{\xi }_b}+n\text{\hspace{1em}(2)}$$

式（1）中，n表示均值为0，方差为${\sigma }_n^2=\frac{1}{2}{N}_0$的加性高斯分量。a表示衰减。此时，要判断接收到的$r$究竟是$s_1$还是$s_2$，就要进行判决。在先验概率相同的情况下，最大后验概率准则和最大似然准则的效果相同。

在本实验中，将r与阈值0进行比较，如果r>0，则判为$s_1$，否则判为$s_2$

显然，r被判决为s1和s2概率分布函数（PDF）分别是：
$$p(r|s_1)=-\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}{e}^{-(r-a\sqrt{{\xi }_b}{)}^2/N_0}\text{\hspace{1em}(3)}$$
$$p(r|s_2)=-\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}{e}^{-(r+a\sqrt{{\xi }_b}{)}^2/N_0}\text{\hspace{1em}(4)}$$

在给定了发送符号$s_1(t)$的情况下，错误概率就是r<0的概率。即
$$\begin{gathered} p(e|s_1)={\int }_{-\infty }^{0}p(r|s_1)dr \\ =Q\left(\begin{array}{c}\sqrt{\frac{2a^2{\xi }_b}{N_0}}\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(5)} \end{gathered}$$

式（5）是一个Q函数，定义为$Q(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_x^{\infty }{e}^{-t^2/2}dt,x\ge 0$。同理，当发射信号$s2$时，错误概率也是$p(e|s_2)=Q\left(\begin{array}{c}\sqrt{\frac{2a^2{\xi }_b}{N_0}}\end{array}\right)$。因为s1和s2是等概率发送的，所以平均错误概率仍然是
$$\begin{gathered} p_b=\frac{1}{2}p(e|s_1)+\frac{1}{2}p(e|s_2) \\ =Q\left(\begin{array}{c}\sqrt{\frac{2a^2{\xi }_b}{N_0}}\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(6)} \end{gathered}$$

从式（6）我们可以发现，错误概率只跟比特信噪比：$\frac{{\xi }_b}{N_0}$和衰减a有关。我们定义接收信噪比${\gamma }_b=\frac{a^2{\xi }_b}{N_0}$。则BPSK的差错率为：$$p_b({\gamma }_b)=Q(\sqrt{2{\gamma }_b})\text{\hspace{1em}(7)}$$

我们把式（7）看成是条件差错概率，其条件是衰减系数a保持不变。但我们为了得到a变化时的出错率，所以我们需要将（7）中的$p_b({\gamma }_b)$对${\gamma }_b$求平均，即需要计算如下积分：
$$p_b={\int }_0^{+\infty }{p}_b({\gamma }_b)p({\gamma }_b)d{\gamma }_b\text{\hspace{1em}(8)}$$
其中，$p({\gamma }_b)$是a为随机变量时，${\gamma }_b$的概率密度函数。

此时，我们只需知道$p({\gamma }_b)$即可。在单径瑞利信道中：因为a是瑞利分布的,故$a^2$为具有两个自由度的${\chi }^2$分布。因此, ${\gamma }_b$也是${\chi }^2$分布的。容易证明
$$p({\gamma }_b)=\frac{1}{\overline{{\gamma }_b}}{e}^{-{\gamma }_b\sqrt{{\gamma }_b}}({\gamma }_b\ge 0)\text{\hspace{1em}(9)}$$

此时我们定义比特信噪比：$BSNR=2{\xi }_b/N_0$

式（9）中，$\overline{{\gamma }_b}$是平均信噪比，它定义为：$\overline{{\gamma }_b}=\frac{{\xi }_b}{N_0}E(a^2)$。由于$a^2$为具有两个自由度的${\chi }^2$分布，所以$E(a^2)=2$，$\overline{{\gamma }_b}=4BSNR$。

让我们尝试把式（7）、（9）带入式（8）,积分结果为：
$$p_b=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1-\sqrt{\frac{\overline{{\gamma }_b}}{1+\overline{{\gamma }_b}}}\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1-\sqrt{\frac{4BSNR}{1+4BSNR}}\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(10)}$$

式（10）就是理想情况下的差错率表达式。

理论差错率编程绘图

%author: ddatalent
%date: 2021/06/28
clear;close;clc;
snr=zeros(1,30);
snr(1)=1e-3;
for i=1:29
    snr(i+1)=snr(i)*1.5;
end
Pb=zeros(1,length(snr));
for i=1:length(snr)
    Pb(i)=1/2*(1-sqrt(4*snr(i)/(1+4*snr(i))));
end;

figure()
plot(20*log10(snr),Pb);
xlabel('SNR(dB)');
ylabel('Pe');
title('理想误码率曲线');
grid on

时分的导引辅助的信道估计方法

单径瑞利信道，由于只有单径的信号，不考虑时延扩展,它描述的是信道的时间选择性衰落特性,也就是平坦衰落，我们在一帧符号的帧头插入一个‘1’比特作为导引估计信道特性，并且可以认为在一帧内信道特性不会变化。

本文参考自：
《MIMO-OFDM Wireless Communications with MATLAB》
《数字通信》（第四版，第14章）