C++进阶课程第1期——中位数

#Y清墨

已于 2025-01-16 17:33:28 修改

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分类专栏：算法数学文章标签：算法 c++

于 2025-01-16 13:28:20 首次发布

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大家好，我是清墨，欢迎收看《C++进阶课程——中位数》。

停更了一个多月了，啊，我也废话不多说了，直接开始！

我们先了解一下中位数吧。

中位数的概念

中位数是一组数据中的中间值，即将数据按照大小的顺序排列，如果数据的数量是奇数，则中位数是中间的那个数；如果数据的数量是偶数，则中位数是中间两个数的平均值。中位数可以用来描述数据的集中趋势，它不受极端值的影响，相对于平均数更能代表数据的中心位置。在统计学中，中位数常用来衡量一组数据的分布的倾斜程度。

举个栗子（奇数个）

例如数列1,3,4,3,5.

① 按从小到大排序，可得1,3,3,4,5.

②得中位数是3.

再举个栗子（偶数个）

例如数列1,3,4,7,5,2.

① 按从小到大排序，可得1,2,3,4,5,7.

②得中位数是(3+4)÷2=3.5.

中位数例题

理解了中位数的特点，接下来，看一下例题吧。

GC.2020.六年级.02.兔子(rabbit)

题目描述

从左往右有 100000001100000001 个整数点，分别是整数点 00 至整数点 100000000100000000。有 nn 只兔子，第 ii 只兔子在整数点 didi。

你需要选择一个整数点作为喂食点，所有兔子都要走到这个整数点进食。应该如何选择喂食点，才能使得所有兔子走过的总路程最小？

输出最小的总路程。

输入格式

第一行，一个整数n。

第二行，共n个整数，第 i 个整数是 $d_{i}$ 。

数据范围

对于 60% 的数据， 1≤n≤3且0≤ $d_{i}$ ≤10。
对于 80% 的数据， 1≤n≤10且0≤ $d_{i}$ ≤100。
对于 100% 的数据， 1≤n≤20且0≤ $d_{i}$ ≤108。

输出格式

一个整数。

这是我们桂城的真题。

《看看暴力枚举要怎样做吧》

兔子，暴力枚举法

//兔子，暴力枚举法
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,d[21];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
    {
		scanf("%d",&d[i]);
	}
	long long ans=LONG_MAX, sum;
	for(int i=0;i<=1e8;i++)
    {
		sum=0;
		for(int j=1;j<=n;j++)
        {
			sum+=abs(d[j]-i);
		}
		if(sum<ans)ans=sum;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

这种暴力枚举的方法只有40分,为什么呢？

首先可以算一下算法复杂度是 $10^{9}$ ×2。

这必然是超了的，我们的C++程序复杂度最多也不能超过 $10^{8}$ 。

实验

我们先来研究一下这类题，实验出真知。

两个点

设直线上有两点（ $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ），兔子的地方。

如下图所示：

此时，应设在哪里才能使得总距离最短呢？《10秒时间思考》

9,3,1,0时间到，眼尖的同学能看出想要距离最短就要设在 $x_{1}$ 到 $x_{2}$ 间的任意一点。

三个点

设直线上有两点（ $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 以及 $x_{3}$ ），兔子的地方。

如下图所示：

此时，应设在哪里才能使得总距离最短呢？《还是10秒时间思考》

9,7,3,1,0时间到。

不知道上题眼尖的同学能不能看出来。

首先总距离拆分成两个部分

1.（ $x_{1}$ 和 $x_{3}$ 之间）

想使第一部分最短只用设在 $x_{1}$ 和 $x_{3}$ 之间任意一点就可以了

2.（ $x_{2}$ ）

想使第二部分最短只用设在 $x_{2}$ 就可以了

这两个条件是完全不冲突的。可以说条件1包含条件2，满足条件2就是最优解。

所以设在 $x_{2}$ 就可以了。

四个点

设直线上有两点（ $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 以及 $x_{3}$ 和 $x_{4}$ ），兔子的地方。

如下图所示：

此时，应设在哪里才能使得总距离最短呢？不知道同学们能不能看出来。

首先总距离拆分成两个部分

1.（ $x_{1}$ 和 $x_{4}$ 之间）

想使第一部分最短只用设在 $x_{1}$ 和 $x_{4}$ 之间任意一点就可以了

2.（ $x_{2}$ 和 $x_{3}$ 之间）

想使第二部分最短只用设在 $x_{2}$ 和 $x_{3}$ 之间任意一点就可以了

这两个条件一样是完全不冲突的。可以说条件1包含条件2，满足条件2就是最优解。

所以设在 $x_{2}$ 和 $x_{3}$ 之间任意一点就可以了。

或许大家看到这已经有点烦了，可以适当休息一下。

五个点

设直线上有两点（ $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 以及 $x_{3}$ 和 $x_{4}$ 还有 $x_{5}$ ），兔子的地方。

如下图所示：

此时，应设在哪里才能使得总距离最短呢？不知道同学们能不能看出来。

首先总距离拆分成三个部分

1.（ $x_{1}$ 和 $x_{5}$ 之间）

想使第一部分最短只用设在 $x_{1}$ 和 $x_{4}$ 之间任意一点就可以了

2.（ $x_{2}$ 和 $x_{4}$ 之间）

想使第二部分最短只用设在 $x_{2}$ 和 $x_{3}$ 之间任意一点就可以了

3.（ $x_{3}$ ）

想使第二部分最短只用设在 $x_{3}$ 就可以了

这三个条件一样是完全不冲突的。可以说条件1包含条件2，条件2包含条件3，满足条件3就是最优解。

所以设在 $x_{3}$ 之间任意一点就可以了。

结论

当2只兔子时，在两只兔子间。

当3只兔子时，在中间的兔子那里。

当4只兔子时，在中间两只兔子间。

当5只兔子时，在中间的兔子那里。

......

中位数出来了！

桂城题目兔子解法

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[100000001];
int minn=INT_MAX,mini;
int x,y;
int f(int x)//求距离和的函数
{
    int sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        sum=sum+abs(x-a[i]);
    }
    return sum;
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
    }
    sort(a+1,a+1+n);//排序求中位数第一步
    y=(n+1)/2;//求中位数第二步
    cout<<f(a[y])<<" ";
    return 0;
}

练一练.最小距离和

题目描述

给出一个数组 $a_{1}$ , $a_{2}$ ...... $a_{n}$ 你需要寻找一个整数b , 使得

$\sum_{1}^{n}abs(a_{i}-(b+i))$ 最小，输出该最小值。

其中 absabs 是求绝对值。

输入格式

第一行，一个整数 nn，( 1≤n≤105 ) 。

第二行，nn 个整数，第 ii 个整数是 $a_{i}$ 。( 1≤ $a_{i}$ ≤109 )。

输出格式

一个整数。

思路.最小距离和

首先，我们学的是这第一期学的是 $\sum_{1}^{n}abs(a_{i}-b)$ 的最小值。

对比一下 $\sum_{1}^{n}abs(a_{i}-b)$ 和 $\sum_{1}^{n}abs(a_{i}-(b+i))$ ，我们可以通过减法的性质，将 $\sum_{1}^{n}abs(a_{i}-(b+i))$ 变为 $\sum_{1}^{n}abs(a_{i}-i-b)$ 而我们一样求的是b， $a_{i}-i$ 问你们是可以提前确定的，所以说，可以写出，下述程序。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[100001],minn,t;
long long f(long long x)
{
    long long sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        sum=sum+abs(x-a[i]);
    }
    return sum;
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>t;
        a[i]=t-i;
    }
    sort(a+1,a+1+n);
    int w=n/2+n%2;
    cout<<f(a[w]);
    return 0;
}

也就只多了句 a[i]=t-i;而已，所以我们做信息学时要多多变通，不要太死板，硬套公式。

我们下期再见。