排序----堆排序

1、堆数据结构

        堆数据结构：是一种数组对象。它可以视为一个完全二叉树，数中的每个节点和数组的每个元素一一对应。

        最大根堆：堆中最大值存放在根节点中。并且以某一节点为根的子树中，各节点的值都不大于该子树根结点的值。

2、维护堆的性质

        我们假设某一节点A[i]，以A[i]的左孩子A[LEFT[i]]和右孩子A[RIGHT[i]]为根的两棵子树都是最大根堆，但这时A[i]可能小于其子女，这样就违反了最大根堆的性质。所以，我们需要做出相应的调整，使其满足最大根堆的性质。

        在A[LEFT[i]]和A[RIGHT[i]]中找出最大的，然后将其下标保存在largest中，如果A[i]是最大的，则以i为根的子树是最大根堆，程序结束。否则，交换A[i]和A[largest]，从而使其子女满足最大根堆性质。但是下标为largest的节点交换后值是A[i]，以该节点为根的子树又有可能破坏最大根堆的性质，因此我们还需要对以largest为节点的子树递归调用维护堆性质的函数。

维护堆性质的函数：

//更新堆，保持堆的性质
//输入数组a，需调整的子树根节点i，数组长度len
void MaxHeapIfy(int *a,int i,int len)
{
	int largest=i,temp;
	if(2*i<=len&&a[2*i]>a[i])
	{
		largest=2*i;
	}
	if(2*i+1<=len&&a[2*i+1]>a[largest])
	{
		largest=2*i+1;
	}
	if(largest!=i)
	{
		temp=a[i];
    	a[i]=a[largest];
    	a[largest]=temp;
		MaxHeapIfy(a,largest,len);
	}	
}

3、创建最大根堆

        我们看可以自底向上的调用MaxHeapIfy函数来将一个数组（数组A从1到n存放元素，A[0]不存放有效元素，便于后面操作）变成一个最大根堆。我们知道子数组A[[n/2]+1，...，n]中的元素都是子树的叶子，因此可以单独看成只含一个元素的堆。所以只需要对其与元素调用MaxHeapIfy函数以创建最大根堆。

创建最大根堆函数如下：

//创建最大根堆
//输入数组a，数组最后一个元素位置n
void BuildMaxHeap(int *a,int n)
{
	for (int i=n/2;i>0;i--)
	{
		MaxHeapIfy(a,i,n);
	}
}

4、堆排序

        首先将数组变成一个最大根堆，然后将根元素和数组最后一个元素互换，这样数组最后一个元素存放的是数组最大值。然后从堆中"去掉"节点n，将剩余的节点变成最大堆，继续前面一样的操作，直至最大根堆中只剩下一个根节点，此时数组排序完毕。

//堆排序
//输入数组a，数组最后一个元素位置n
void HeapSort(int *a,int n)
{
	BuildMaxHeap(a,n);
	for (int i=n;i>0;)
	{
		int temp=a[1];
		a[1]=a[i];
		a[i]=temp;
    	MaxHeapIfy(a,1,--i);
	}
}

5、堆排序完整程序如下：

#include "stdafx.h"
#include "iostream.h"
#include "string.h"
#include <time.h>
#include <stdlib.h>

//更新堆，保持堆的性质
//输入数组a，需调整的子树根节点i，数组长度len
void MaxHeapIfy(int *a,int i,int len)
{
	int largest=i,temp;
	if(2*i<=len&&a[2*i]>a[i])
	{
		largest=2*i;
	}
	if(2*i+1<=len&&a[2*i+1]>a[largest])
	{
		largest=2*i+1;
	}
	if(largest!=i)
	{
		temp=a[i];
    	a[i]=a[largest];
    	a[largest]=temp;
		MaxHeapIfy(a,largest,len);
	}	
}
//创建最大根堆
//输入数组a，数组最后一个元素位置n
void BuildMaxHeap(int *a,int n)
{
	for (int i=n/2;i>0;i--)
	{
		MaxHeapIfy(a,i,n);
	}
}
//堆排序
//输入数组a，数组最后一个元素位置n
void HeapSort(int *a,int n)
{
	BuildMaxHeap(a,n);
	for (int i=n;i>0;)
	{
		int temp=a[1];
		a[1]=a[i];
		a[i]=temp;
    	MaxHeapIfy(a,1,--i);
	}
}

int main(int argc, char* argv[])
{
	int a[]={0,23,5,35,32,435,42,75,24,24,12,64,53,31,97,75,324,75,86,9,54,24,235};
	int len=sizeof(a)/sizeof(int);
	HeapSort(a,len-1);
	for (int i=0;i<len;i++)
	{
		cout<<a[i]<<" ";
	}
	cout<<endl;

	return 0;
}