探索Fibonacci数列的最佳求解方法

最新推荐文章于 2020-05-02 23:06:01 发布

dazhong159

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分类专栏：数据结构与算法文章标签： matrix struct 语言 c

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本文深入探讨了Fibonacci数列的计算方法，包括递归、迭代和矩阵快速幂方法，详细解释了每种方法的时间复杂度，并通过代码实现展示了如何用O(logn)的时间复杂度计算第n项。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1、定义Fibonacci数列如下：
/ 0 n=0

f(n) = 1 n=1

\ f(n-1)+f(n-2) n=2
输入n，用最快的方法求该数列的第n项。
分析：在很多C语言教科书中讲到递归函数的时候，都会用Fibonacci作为例子。因此很多程序员对这道题的递归解法非常熟悉，看到题目就能写出如下的递归求解的代码。

long Fibonacci_Solution1(unsigned int n) 
{ 
	int result[2] = {0, 1}; 
	if(n < 2) 
		return result[n]; 
	return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2);
}

但是，教科书上反复用这个题目来讲解递归函数，并不能说明递归解法最适合这道题目。我们以求解f(10)作为例子来分析递归求解的过程。要求得f(10)，需要求得f(9)和f(8)。同样，要求得f(9)，要先求得f(8)和f(7)……我们用树形结构来表示这种依赖关系 f(10)

/ \

f(9) f(8)

/ \ / \
f(8) f(7) f(6) f(5)

/ \ / \

f(7) f(6) f(6) f(5)

我们不难发现在这棵树中有很多结点会重复的，而且重复的结点数会随着n的增大而急剧增加。这意味这计算量会随着n的增大而急剧增大。事实上，用递归方法计算的时间复杂度是以n的指数的方式递增的。

其实改进的方法并不复杂。上述方法之所以慢是因为重复的计算太多，只要避免重复计算就行了。比如我们可以把已经得到的数列中间项保存起来，如果下次需要计算的时候我们先查找一下，如果前面已经计算过了就不用再次计算了。
更简单的办法是从下往上计算，首先根据f(0)和f(1)算出f(2)，在根据f(1)和f(2)算出f(3)……依此类推就可以算出第n项了。很容易理解，这种思路的时间复杂度是O(n)。

long Fibonacci_Solution2(unsigned n)
{ 
	int result[2] = {0, 1}; 
	if(n < 2) 
		return result[n]; 
    long fibNMinusOne = 1; 
    long fibNMinusTwo = 0; 
	long fibN = 0;
	for(unsigned int i = 2; i <= n; ++ i)
	{ 
		fibN = fibNMinusOne + fibNMinusTwo; 
		fibNMinusTwo = fibNMinusOne; 
		fibNMinusOne = fibN; 
	} 
	return fibN; 
}

这还不是最快的方法。下面介绍一种时间复杂度是O(logn)的方法。在介绍这种方法之前，先介绍一个数学公式：
{f(n), f(n-1), f(n-1), f(n-2)} ={1, 1, 1,0}n-1 (注：{f(n+1), f(n), f(n), f(n-1)}表示一个矩阵。在矩阵中第一行第一列是f(n+1)，第一行第二列是f(n)，第二行第一列是f(n)，第二行第二列是f(n-1)。)有了这个公式，要求得f(n)，我们只需要求得矩阵{1, 1, 1,0}的n-1次方，因为矩阵{1, 1, 1,0}的n-1次方的结果的第一行第一列就是f(n)。这个数学公式用数学归纳法不难证明。感兴趣的朋友不妨自己证明一下。
现在的问题转换为求矩阵{1, 1, 1, 0}的乘方。如果简单第从0开始循环，n次方将需要n次运算，并不比前面的方法要快。但我们可以考虑乘方的如下性质：

a^n=a^(n/2)*a^(n/2) n为偶数

a^n=a^((n-1)/2)*a^((n-1)/2)*a   n为奇数
        要求得n次方，我们先求得n/2次方，再把n/2的结果平方一下。如果把求n次方的问题看成一个大问题，把求n/2看成一个较小的问题。这种把大问题分解成一个或多个小问题的思路我们称之为分治法。这样求n次方就只需要logn次运算了。
        实现这种方式时，首先需要定义一个2×2的矩阵，并且定义好矩阵的乘法以及乘方运算。当这些运算定义好了之后，剩下的事情就变得非常简单。完整的实现代码如下所示。

#include "stdafx.h"
#include "stdlib.h"
#include <iostream.h>
#include <string.h>
#include <cassert> 

//结构体数据表示数组
struct Matrix2By2 
{ 
	Matrix2By2(long m00 = 0,long m01 = 0,long m10 = 0,long m11 = 0 ) :m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11) { } 
	long m_00; 
	long m_01; 
	long m_10; 
	long m_11; 
}; 

//两个数组相乘
Matrix2By2 MatrixMultiply (const Matrix2By2& matrix1,const Matrix2By2& matrix2 ) 
{ 
	return Matrix2By2(matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10, matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11, matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10, matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11); 
}

//数组的n次方
Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n) 
{
	assert(n > 0); 
	Matrix2By2 matrix; 
	if(n == 1) 
	{ 
		matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0); 
	} 
	else if(n % 2 == 0) 
	{ 
		matrix = MatrixPower(n / 2);
		matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix); 
	} 
	else if(n % 2 == 1) 
	{ 
		matrix = MatrixPower((n - 1) / 2); 
		matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix); 
		matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));
	} 
	return matrix; 
} 

//计算Fibonacci数列
long Fibonacci_Solution3(unsigned int n)
{ 
	int result[2] = {0, 1}; 
	if(n < 2) 
		return result[n]; 
	Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1); 
	return PowerNMinus2.m_00; 
}

void main()
{
	cout<<Fibonacci_Solution3(20)<<endl;
}