No.1 递归以及其在二叉树中的运用

前言

    这两天在刷二叉树的深度和平衡二叉树的题，深感觉有点吃力，不是cs专业，还得一点一点地积累学习。在此篇博客里，将好好的学习理解递归函数的运用，以及其在二叉树中的运用。

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递归

    通俗的理解：在我们使用词典的时候，本身可以理解为一个递归。比如我们在查一个英语单词recursion的时候，但是为了更好的理解recursion这个单词，我们去看带有recursion单词的例句A。但是A例句中如果含有一个单词b我不认识，这时候为了更好的扫盲，我们会去查b单词的意思。但是包含b单词的例句C中又有不认识的单词d，我们可能又去查d单词的意思。依次往后，直到最后一个单词的例句我们了全明白了。那么这就是递归到尽头了，然后开始从后往前倒退，逐个查明了每一个单词以及理解了它的例句。最终我们理解了最开始要查的单词recursion这个词的意思。递归将问题不断从大到小，从近到远的过程中，会有一个终点或临界点或baseline point，这时候“反弹”，从这个此点返回到原点。

    形象理解：

                            

                                                （图来自知乎：https://www.zhihu.com/question/20507130）

    定义：recursion is the process of repeating items in a self-similar way.

    递归和循环的区别：递归是静中有动，有去有回。循环是动静如一，有去无回。

    用法举例：斐波拉契数列。在定义函数里面，不断的调用自己。

def fib(n):
    if n == 0 or n == 1: #Base case
        return 1
    else:
        return fib(n-1) + fib(n-2) #recursive case

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二叉树

    二叉树定义：Binary tree/ 二叉树是一种树形结构，它的特点是每个结点至多有两颗子树，并且，二叉树的子树左右之分，其次序不能任意颠倒。

                                                    （图来自知乎 ：https://zhuanlan.zhihu.com/p/24800009）

    此二叉树有三层，第一层一个结点为1，第二层两个结点为2和3，第三次两个结点为4和5.结点的最大层数为3，所以高度为3；共三个叶结点，分别为2，4，5。两个非叶结点为1和3。树的高度和深度的区别：高度为从结点x向下到某个叶结点最长简单路径中边的条数。 对于整颗树来说，最深的叶结点的深度就是树的深度；树根的高度就是树的高度。这样树的高度和深度是相等的。 

    二叉查找树：二叉查找树的规则是，它的左孩子的所有结点值都比该结点小，但是右结点所有结点值都比该点大。与结点值相同的结点可以放左孩子或右孩子上都行。

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递归在二叉树中的运用

    剑指offer：二叉树的深度

    题目描述：输入一棵二叉树，求该树的深度。从根结点到叶结点依次经过的结点（含根、叶结点）形成树的一条路径，最长路径的长度为树的深度。

# -*- coding:utf-8 -*-
# class TreeNode:
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.left = None
#         self.right = None
class Solution:
    def TreeDepth(self, pRoot):
        # write code here
        #我的思路：使用递归的方法，计数递归的深度
        #递归的话，得确定边界以及递归条件。两边同时进行
        if not pRoot:
            return 0  #判断是不是空结点，同时在递归中也可视为边界条件。
        right_d=self.TreeDepth(pRoot.right)  #递归函数即是调用本身的函数，但是函数变量需要改变，树结点分左右结点。
        left_d=self.TreeDepth(pRoot.left)    #同理
        return right_d+1 if right_d>left_d el   #递归函数调用自己函数，同时一步一步往里面调用，没有到边界不返回值。到边界之后开始返回值0。最里面的返回值为0后，那么次一级的返回为+1，这样就能比较出深度的大小了。

    剑指offer：平衡二叉树

    题目描述：输入一棵二叉树，判断该二叉树是否是平衡二叉树。

    平衡二叉树的判断方法：平衡二叉树又称为AVL树。它或者是空树，或者就是左右子树的深度差不能大于1。

    递归解法：[1] 如果二叉树为空，返回真。[2]如果二叉树不为空，如果左右子树都是AVL树并且左子树和右子树高度差不大于1，返回真，其他返回假。

class Solution:
    res = True   #定义结果为正确，用来判断。
    def IsBalanced_Solution(self, pRoot):
        # write code here
        self.helper(pRoot)  #引入子函数，子函数变量为输入的pRoot，子函数用来判断是不是平衡二叉树。
        return self.res  #结果为对或者不对。总体上这三步确定了框架
    #平衡二叉树的判断条件，判断条件为左右子树结点的深度不能超过1。     
    def helper(self,root):  #定义子函数，其传入进来的为pRoot.
        if not root:  #首先根结点是不是空结点，如果不是的话，返回0.相当于false。同时也是递归函数的判断边界。
            return 0  #相当于false  
        #if not self.res : return 1  
        left = 1 + self.helper(root.left)  #左递归函数 求深度。记得加1.
        right = 1 + self.helper(root.right) #右递归函数，求深度，记得加1.
        if abs(left-right)>1:   #判断深度差是否大于1    abs()为求绝对值！！
            self.res = False  #如果是的话，定义结果为false
        return max(left,right)   #返回最大的值

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总结

[1]：递归可以理解为将问题从远到近，从外到里面，找到那个边界/临界点（调入）；再从临界点往外不断的返回，这样就是递归。（往里面递，往外归还）

[2]：二叉树有很多性质，同时也有很多遍历的方法，没有办法全部记录下来了。只能doing under demand，learn by doing。这张主要是想着重了解递归在二叉树深度求法中的运用，重点是理解。在树递归函数中，分别调用左子树和右子树，同时设置边界条件。如果边界条件结点不是头结点，也就是该结点下的子结点为none，那么返回0.从里往外不断返回时候，递归进去几层，返回时候就加了几个1.这样就能求出深度了。左右子树深度最大的为树的深度，左右深度相差不超过1的可以判断是否为平衡二叉树。