快速幂

前言

　　在写这篇博客之前，我浏览了很多介绍快速幂的博客，希望从中借鉴其精华，来弥补我可能有的考虑不足之处。
　　我发现很多的大神在描述快速幂的原理实现时都利用了二进制权值 (不知道各位小可爱对这个词儿熟悉不)。二进制权值对我来说是个新词，虽然我去了解它的时候发现它并不难理解，但我还是决定用更接地气的方法，来解释快速幂的原理及实现。

实现代码

先不说其他的，直接怼代码

int kmi(int a,int n)   //a为底数，n为指数
{
    int ans=1;      //用于存储的结果
    while(n>0)
    {
        if(n&1)     //指数为奇数时
           ans*=a;
        a=a*a;  
        n>>=1;      //指数右移
    }
    return ans;
}

代码中用到了位运算中的与操作运算符&和二进制运算符>>。如果你对这两个或其他的运算符不甚了解，那就点这里。接地气的方法在下面哦

算法原理

下面通过分别展现普通求幂和快速求幂的运算过程，让你直观的看到快速幂是怎么更“快”的。

以求2^11为例

• 普通算法：
  2¹¹ = 2 * 2¹⁰ = 4 * 2⁹ … = 256 * 2³ = 512 * 2² = 1024 * 2¹ = 2048。需要计算10次

• 快速算法：
  2¹¹ = 2 * 4⁵ = 8 * 16² = 8 * 256¹ = 2048。只需要计算3次！！！

通过上面的例子我们可以发现，普通的算法每运算一次，底数不变，指数比原来少一。所以当求aⁿ时，就需要计算n次，故其时间复杂度为O(n)。而快速幂算法每运算一次，底数变为原来的平方，指数变为原来的二分之一（快画重点！）。所以只需要计算log₂n次(当指数为1时)，就可以计算出aⁿ的结果。姑其时间复杂度为O(long₂n)。
总结一下：简单来说，快速幂是通过对指数的压缩来减少运算的次数的。

算法实现

总的来说，我们可以把算法的过程分为两步

1. 判断指数的奇偶性，如果为奇数，就让ans=ans*度数。其中ans是用来存储结果的变量。
2. 让底数变为原来的平方，即a=a*a;让指数变为原来的二分之一，即n>>1;

注意：的是循环结束的条件为n<=0,事实上当n==1时就计算出结果了，但由于位移操作放在循环尾部，所以1变成了0

有人说我写代码时不想搞&、>>这些花里胡哨的咋弄

这简单

int kmi(int a,int n)
{
    int ans=1;
    while(n>0)
    {
        if(n%2!=0)   //只要能判断奇偶性，用什么方法无所谓，不过n&1要比这种效率高一点
          ans*=a;
        a=a*a;
        n/=2;       
    }
    return ans;
}

这个代码够实在、够接地气吧，哈哈哈

总结

快速幂算法最核心的部分就是判断指数的奇偶性和指数减半的操作，是要理解了这两点，快速幂就不难掌握了。