最短路径 Part I- Single source shortest path

单源最短路径问题： 即从一个起点 （single source）到其他节点的最短路径。

Lemma 1. 最短路径的子路径也是最短路径。 （如果子路径不是最短路径那么之前的路径也不是最短路径）。

Negative weight edges

If the graph G = (V, E) contains no negative weight cycles reachable from the source s, then for all v belong to V,  the shortest path weight deta(s, v) remains well defined, even if it has a negative value.

意思是 从s点 到v 点， 如果在图中没有负权重的环，则权重存在，即使有负权重。

负权重的环 意思是一个环它的权重和是负的，如果两点之间路径上没有这样的负权重环则路径存在。

Dijkstra 算法要求图中weight非负。 Bellman-Ford 算法允许有负权重，只要没有负权重环，如果存在这样的环bellman-ford 可以检测出来，并报告出来。

Cycles： 最小路径上不能有环，（否则去掉这个环路径会更小）

Bellman-Ford Algorithm

适用于单源最短路径，可以判断是否有负权回路（若有，最短路径不存在）。

Inilization Alogrithm-初始化  O(V)

INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)

1. for each vertex  v ∈ V[G]

2.do d[v] = INFINIT_MAX

3.     pi[v] = NIL

4. d[s] = 0

松弛技术

RELAX(u, v, w)  // w 表示u 到v的距离 

1. if d[v] > d[u] + w(u, v) // 一定注意顺序 d[v] > d[u] + w

2. then d[v] = d[u] + w(u,v)

3.        pi[v] = u

Bellman-FORD 算法如下

BELLMAN-FORD(G, w, s)
1  INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)
2  for i ← 1 to |V[G]| - 1
3       do for each edge (u, v) ∈ E[G]
4              do RELAX(u, v, w)
5  for each edge (u, v) ∈ E[G]
6       do if d[v] > d[u] + w(u, v)
7             then return FALSE
8  return TRUE

其中注意：

1. line 2 中i只是用来控制循环次数；

2. 对所有边进行遍历，边的顺序对更新过程有影响，但是对结果没有影响。

3. 如果返回值为False 表示包含负权回路； 否则true

算法的复杂度:

1. 算法初始化的复杂度是O(V)

2. 算法line2~4 的复杂度是O((|V|-1)*E)

3. 算法line5~7 的复杂度是O(E)

总的复杂度是O(VE)