【复变函数】二、解析函数

1. 复变函数的导数

  设单值函数 $w=f(z),z\in D$，对于 $z_0\in D$，有如下定义

1.1. 导数$f^{\prime }(z_0)$

  $f(z)$ 在 $z_0$ 处可导（可微，导数存在），当且仅当以下极限存在
$$f^{\prime }(z_0)=\frac{dw}{dz}{|}_{z=z_0}=\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$$

  其中，

• 在 $z_0$ 处沿复平面任意方向的极限都应存在且相同
• 证明不可导，仅需举出反例，常检验 $x=x_0$ 和 $y=y_0$ 方向的极限
    

1.2. 导函数$f^{\prime }(z)$

  $\forall z_0\in D,f(z)$ 在 $z_0$ 处可导，则 $f(z)$ 在区域 $D$ 上的导函数为
$$f^{\prime }(z)=\frac{df(z)}{dz}=\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}$$

  其中，

• 证明不可导，仅需举出反例，常检验 $\Delta x=0$ 和 $\Delta y=0$ 方向的极限
• 可导性的传递遵循求导法则：四则运算法则，反函数法则，链式法则

  

2. 复变函数解析

2.1. 解析

  $f(z)$ 在 $U(z_0,\delta )$ 上可导，称 $f(z)$ 在 $z_0$ 点解析。解析函数 $f(z)$ 在其解析区域 $D$ 上处处解析。

  其等价定义有两条：
$$f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iy,\forall z\in D,$$
   $u(x,y),v(x,y)$ 可微，且满足 $C-R$ 方程：
$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\text{\hspace{1em}(1)}$$
  由解析的定义知，实部 $u$ 和虚部 $v$ 有二阶连续偏导数，在 $C-R$ 方程两端分别对 $x,y$ 求偏导数，得到拉普拉斯方程：
$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}=0\text{\hspace{1em}(2)}$$

  其中，解析的传递遵循：四则运算法则，反函数法则，链式法则
  

2.2. 调和函数

  区域内具有二阶偏导数且满足拉普拉斯方程的二元实函数，即：解析函数 $f(z)$ 的实部 $u(x,y)$ 和虚部 $v(x,y)$ 在解析区域 $D$ 内均为调和函数，且互为共轭调和函数。

  由全微分的判定定理：$P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 在区域 $D$ 内有一阶连续偏导，$P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ 为某一函数的全微分 等价于 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$

  可进一步推知，对于给定的调和函数 $u(x,y)$，其共轭调和函数族为
$$v(x,y)={\int }_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}(-\frac{\partial u}{\partial y})dx+\frac{\partial u}{\partial x}dy+c$$

  其中，$c$ 为常数。
  

2.3. 整函数

  在复平面上处处解析的函数。
  

2.4. 奇点$z_0$

  $f(z)$ 在 $z_0$ 点不解析，$\forall \delta >0,\exists z\in U(z_0,\delta )$，$f(z)$ 在 $z$ 点解析。

  例如：分母为零的点以及其他无穷间断点。
  

3. 初等函数

3.1. 指数函数$w=e^z$

  由欧拉公式和同底数幂相乘运算法则，
$$w=expz=e^z=e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}=e^x(cosy+isiny)$$

  其中，

• $w$ 是初等函数中最重要的函数，可以定义其余的初等函数
• $w$ 是单值、非负、复平面内解析的函数，遵循实函数的求导法则和运算法则（指数运算法则）
• $w$ 的模、辐角和周期如下
  $$\{\begin{array}{l}|w|=e^x\\ Argw=y+2k\pi \\ T=2k\pi i\end{array},(k=0,\pm 1,\pm 2,...)$$
    

3.2. 对数函数$w=Lnz$

  由方程$e^w=z=r{e}^{i\theta }\ne 0$，
$$w=Lnz=lnr+i\theta =ln|z|+iArgz=ln|z|+iargz+2k\pi i,(k=0,\pm 1,\pm 2,...)$$

  对数函数有以下定义：

• 主值：$lnz=ln|z|+iargz$，特别的，$z=x>0$ 时，退化为实对数函数
• 分支：$lnz+2k_0\pi i$

  其中，

• $w$ 是指数函数的反函数，定义域为$z\ne 0$
• $w$ 是多值函数，其各分支在 C ∖ { z = x + y i   ∣   x ≤ 0 ,   y = 0 } \Bbb C \setminus \{z=x+yi\,|\,x\le0,\,y=0\} C∖{z=x+yi∣x≤0,y=0} 上连续且解析，遵循实函数的求导法则和运算法则（对数运算法则）
• 注意到， $w$ 与 $argz$ 的定义域，连续性和解析区域是一致的
    

3.3. 幂函数$w=z^{\alpha }$

$$w=z^{\alpha }=e^{\alpha Lnz}$$

  其中，

• $w$ 在复平面上的运算基于对数函数定义，并遵循实函数的求导法则和运算法则（幂运算法则）
• $w$ 退化为实函数后，在无定义的复平面区域上均不解析，其他情况下处处解析
    

3.4. 三角函数、反三角函数和双曲函数

  由欧拉公式 $e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta \Rightarrow \{\begin{array}{l}cos\theta =\frac{1}{2}(e^{i\theta }+e^{-i\theta })\\ sin\theta =\frac{1}{2i}(e^{i\theta }-e^{-i\theta })\end{array}$，得

$$cosz=\frac{1}{2}(e^{-iz}+e^{iz})$$ $$sinz=\frac{i}{2}(e^{-iz}-e^{iz})$$

  由$z=cosw=\frac{1}{2}(e^{-iw}+e^{iw})$，同理有
$$Arccosz=-iLn(z+\sqrt{z^2-1})$$ $$Arcsinz=-iLn(iz+\sqrt{1-z^2})$$

  其中，

• 复变三角函数的周期性、可导性、奇偶性、零点与实函数一致，适用所有三角公式和求导公式
• 有界性不成立，即：$\exists z\in \mathbb{C},|cosz|>1$ 或 $|sinz|>1$

  由此推出：
$$tanz=\frac{e^{-iz}-e^{iz}}{e^{-iz}+e^{iz}}i$$ $$cotz=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{e^{iz}-e^{-iz}}i$$ $$secz=\frac{2}{e^{iz}+e^{-iz}}$$ $$cscz=\frac{2i}{e^{iz}-e^{-iz}}$$ $$Arctanz=\frac{i}{2}Ln\frac{i+z}{i-z}$$ $$Arccotz=\frac{i}{2}Ln\frac{z-i}{z+i}$$ $$Arcsecz=-iln(i\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}+\frac{1}{z})$$ $$Arccscz=-iln(\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}+\frac{i}{z})$$ $$chz=\frac{e^z+e^{-z}}{2}$$ $$shz=\frac{e^z-e^{-z}}{2}$$ $$thz=\frac{e^z-e^{-z}}{e^z+e^{-z}}$$ $$cothz=\frac{e^z+e^{-z}}{e^z-e^{-z}}$$ $$sechz=\frac{2}{e^z+e^{-z}}$$ $$cschz=\frac{2}{e^z-e^{-z}}$$