「链表」Floyd判环法（弗洛伊德判圈法|龟兔赛跑法）|公式推导环入口 / LeetCode 142（C++）

给定一个链表的头节点  head ，返回链表开始入环的第一个节点。 如果链表无环，则返回 null。

如果链表中有某个节点，可以通过连续跟踪 next 指针再次到达，则链表中存在环。 为了表示给定链表中的环，评测系统内部使用整数 pos 来表示链表尾连接到链表中的位置（索引从 0 开始）。如果 pos 是 -1，则在该链表中没有环。注意：pos 不作为参数进行传递，仅仅是为了标识链表的实际情况。

不允许修改 链表。

/**
 * Definition for singly-linked list.
 * struct ListNode {
 *     int val;
 *     ListNode *next;
 *     ListNode(int x) : val(x), next(NULL) {}
 * };
 */

示例 1：

输入：head = [3,2,0,-4], pos = 1
输出：返回索引为 1 的链表节点
解释：链表中有一个环，其尾部连接到第二个节点。

思路

沉淀，又是被白袜体育生扣圈的一天。

试想：如果路径在某一处成环，在起点释放一个快指针和一个慢指针，他们必定在不同时刻入环，之后必定在某一刻相遇。

Floyd判环算法，也称龟兔赛跑算法，可用于判断链表、迭代函数、有限状态机是否有环并找出环的位置。 

判环过程

两个速度不同的指针从起点开跑，如果有环，两指针分别在不同时刻入环，慢指针入环后必被快指针扣圈。

此处以链表为例， 定以慢指针slow，每次走一步：slow=slow->next;，快指针fast，每次走两步：fast=fast->next->next;

相遇失败则无环，否则有环。

找环过程

要知道环的入口，我们需要一些公式推导。

路线分析：  

设s=从直线起点到环入口的距离，m=环周长，Xfast=快指针走过的路程，Xslow=慢指针走过的路程。

①：由于快慢指针同时出发，快指针速度是慢指针的两倍，那么相同时间内有Xfast=2Xslow···①。 

②：两指针相遇时，他们走过的路程之差总是环周长的整数倍，这很好理解：在环外的路程相同，快指针想扣圈慢指针必须在环内多走整数倍的环长。那么有Xfast-Xslow=km（k是某一整数）···②。

③：将①带入②，得到Xslow=km···③

④：对于环内的慢指针，它每次经过环入口节点的路程是Xslow=s+tm（t是任意整数）···③。

观察③④两式，我们发现；慢指针再走s步即到达环入口。那么如何得到s呢？

将fast重置为head节点，并将其速度设置为1（与slow共速），那么fast节点前进s步时，slow也前进s步：此时fast==slow。

故此为环入口。

复杂度

时间复杂度: O(s+m)
空间复杂度: O(1)

s：从直线起点到环入口的距离

m：环周长

复杂度分析：

以环内慢指针为参考系，环内快指针走整数倍m与之相遇。在此参考系内，Vfast′=Vfast-Vslow，这是一个常量级别的值，故重逢时间T=m/Vfast′是线性级别的，因此时间复杂度是线性级别的。

使用了常量空间的双指针，空间复杂度是常量级别的。

Code

class Solution {
public:
    ListNode *detectCycle(ListNode *head) {
        ListNode *fast=head,*slow=head;
        while(true){
            if(!fast||!fast->next)return nullptr;
            fast=fast->next->next;
            slow=slow->next;
            if(slow==fast)break;
        }
        fast=head;
        while(slow!=fast){
            fast=fast->next;
            slow=slow->next;
        }
        return fast;
    }
};