Least Squares Conformal Maps for Automatic Texture Atlas Generation用于自动纹理图集生成的最小二乘保角映射

提供了一种新的拟保角参数化方法，基于柯西—黎曼方程的最小二乘近似。所定义的目标函数使角度变形最小，并证明了以下的正确性:最小值是唯一的，与纹理空间的相似性无关，与网格的分辨率无关，不能生成三角形翻转。该函数在数值上表现良好，因此可以非常有效地最小化。我们的方法是稳健的，可以参数化具有复杂边界的大型图表。
我们还介绍了分割方法将模型分解为具有自然形状的图表，并提出了一种新的包装算法，以收集他们在纹理空间。我们演示了我们的方法用于绘制扫描和建模的数据集。

1、介绍

3D绘制系统可以通过交互添加细节(颜色，凹凸贴图…)来增强3D模型的视觉外观。如果表面的离散化足够好，就可以直接绘制它的顶点[1]。然而，在大多数情况下，期望的颜色精度比模型的几何细节更精细。假设要绘制的表面具有参数化，可以使用纹理映射在参数空间[9]中存储颜色。参数化曲面(如NURBS)具有自然的参数化。对于其他表示法，比如多边形曲面，找到参数化就不是件容易的事了。要用规则的图案装饰多边形模型，可以使用[26]重叠纹理方法:局部重叠参数化用于重复地将一个小的纹理样本映射到模型上。
纹理图集是一种更一般的表示(参见，例如，[13,20,23])。要进行纹理化的模型被分割成一组与圆盘同构的部件，称为图表，每个部件都有一个参数化。纹理图集可以很容易地用标准文件格式表示，并使用标准纹理映射硬件显示。当在3D绘制系统中使用时，纹理图集应该满足以下要求:
•图表边界的选择应该最小化纹理工件，
•纹理空间的采样应该尽可能的均匀，
•图集应该优化使用纹理空间。
纹理图集的生成可以分解为以下步骤:
1.分段:将模型划分为一组图表。
2.参数化:每个图表都是“展开”的，即与R的一个子集相对应2。
3.填充:在纹理空间中收集图表。

1.1以前的工作

分割成图表。在[14]和[23]中，模型是由用户交互划分的。为了实现自动分割，Maillot等[20]将面按法线进行分组。几种多分辨率方法[7,16]将模型分解为与基复形的简单结构相对应的图。在[27]中，Sander等人使用区域增长的方法来分割，根据平面性和紧凑性标准合并图表。所有这些方法都是为了生成可由现有参数化方法处理的图表，而现有参数化方法仅限于凸边图表。因此，生成了大量的图表，在构造纹理图集时引入了许多不连续性。
图参数化其中应用最广泛的是Eck等[4]所描述的离散谐波映射。它们是连续谐波映射[5]的近似，使度规色散准则最小化。Pinkal和Polthier[24]已经表明了这一准则与另一种称为“适形”的准则之间的联系，并以狄利克雷能量的形式表达了两者。Haker等人[8]描述了一个类似的方法在一个球面同胚的表面三角化的具体情况下。
用Tutte[30]研究了图的嵌入理论，其中引入了重心映射。所定义的参数化的双射性在数学上是有保证的。浮动的[6]提出了具体的权重来提高映射的质量，在面积变形和一致性方面。在[18]中，提出了一种考虑附加约束的方法。
在上述方法中，由于保形是参数间的间接耦合，因此需要边界条件，即边界节点需要固定在参数空间的凸边上。其他的拟合表达式，如非线性MIPS方法[10]，使解决这一问题成为可能，并使边界节点可以自由移动。然而，后一种方法需要一个耗时的非线性优化，并可能陷入一个局部最小的非线性函数。在[12]中，Hurdal等人提出了一种基于圆包的方法，即已知具有特定切线模式的特定圆的配置，以提供一种近似保角映射的方法。然而，建造循环包装是相当昂贵的。在[28]中提出的方法是在参数空间中求解角度。它导致了一个高度约束的优化问题。其他方法[17,25,31]也可以推断边界，但不能保证没有三角形翻转，并且需要与用户交互。本文介绍了一种保角映射方法，与其它方法相比，该方法具有更好的保证、效率和鲁棒性。
在纹理映射的情况下，不仅要保证参数化的双射性，而且要保证参数化能够最优地利用纹理内存，准确地表示存储在纹理空间中的信号。Sander等[27]描述了一种方