《中国古代数学思想》读书笔记(15)

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AI摘要

本文深入探讨了中国古代数学家刘徽的数学思想,重点介绍了他对极限思想的理解与应用,包括开方不尽数的处理方法及其对无理数概念的贡献。同时,文章详细解析了刘徽提出的以盈补虚思想及出入相补原理,并通过具体实例展示了这些原理在解决实际数学问题中的应用。

 

《中国古代数学思想》读书笔记(15)
  
 作者:中科大胡不归
  

  第四章:数学思想的理论奠基——刘徽的数学思想。本篇记录此章第3节的第3部分和第4节的第1、2、3部分。

4.3 极限(无限)思想——前无古人的算法

3、开方不尽数

  这是在《九章算术》少广章开方术的注文中提出的,也是数学史上非常有名的话题:
  “术文:若开之不尽者,为不可开,当以面命之。

注文:术或有以借算加定法而命分者,虽粗相近,不可用也。凡开积为方,方之自乘当还复有积分。令不加借算而命分,则常微少;其加借算而命分,则又微多。其数不可得而定。故惟以面命之,为不失耳。譬犹以三除十,以其余为三分之一,而复其数可以举。不以面命之,加定法如前,求其微数。微数无名者以为分子,其一退以十为母,其再退以百为母。退之弥下,其分弥细,则朱幂虽有所弃之数,不足言之也。

  术文:若实有分者,通分内子为定实,乃开之。讫,开其母,报除。若母不可开者,又以母乘定实,乃开之。讫,令如母而一。”
  开方术的原文肯定了开方不尽数的存在,把sqrt (N)称为N的“面”,即平方根,不论N是不是完全平方数。这是一个了不得的数学认识,离无理数的发现也就是一步之差了!按:但这一步之差中国古人就是没跨过去呀。毕达哥拉斯学派早在刘徽之前几百年就发现了sqrt (2)是无理数,跨过了这一步之差。
刘徽指出“以借算加定法而命分”。设N开方已得的根为a,则有

sqrt(N)≈a+(N−a2)/(2a+1)
,
  还有不加借算而给出的结果
 
sqrt(N)≈a+(N−a2)/2a
。
  非常重要的是刘徽指出
 
a+(N−a2)/(2a+1)<sqrt(N)<a+(N−a2)/2a
,
   得出了从不足近似值和过剩近似值两方面逼近方根的认识和方法,在世界上是处于先进行列的。按:在刘之前,阿基米德得到了同样的不足近似值和过剩近似值。他求出了根号3的很好的近似值:1351 /780 > sqrt(3) > 265 /153。
  更重要的是,刘徽提出了不用分数逼近方根,而按前面的方法,不断退位,一直用开方术计算下去,得到“微数”,就是十分小的数,而且是十进小数。因此这里是给出的是用十进小数逼近方根,开启了用小数逼近无理数的先河,真正是具有世界历史意义的成果。按:这话有可疑之处。用小数逼近是没错,但无理数的概念,刘徽根本没想到。
  开方术的最后两句话给出了分数开方的算法:
设A是完全平方数,则
 
sqrt(C+B/A)=sqrt[(CA+B)/A]=sqrt(CA+B)/sqrt(A)
,
设D不是完全平方数,则
sqrt(E/D)=sqrt(ED/D2)=sqrt(ED)/D
。
  这也是与现代十分一致的结果。按:本书没有说清楚,这是《九章算术》原文的内容,不是刘徽的新结果。此外,如果要开方的数不能表示成有限分数,怎么办?这说明他们只考虑了有理数的开方,完全没考虑无理数的开方。中国古人离无理数的概念不是一步之遥,而是离得远呢!

4.4 以盈补虚思想——出入相补的原理

  以盈补虚是刘徽进行算法解释或者说进行证明的一种基本思想。从这种思想出发,刘徽提出了一个基本原理——出入相补原理。最典型的就是在圆田术、开方术和各种“化圆为方”问题中的应用。
1、初次应用

  刘徽第一次应用出入相补原理,是在方田章中为圭田术作的注文中。按:圭是古代帝王、诸侯举行隆重仪式所执玉制礼器,上尖下方。圭田即三角形田。
  “又有圭田广五步二分步之一,从八步三分步之二,问为田几何?
  答曰:二十三步六分步之五。
  术曰:半广以乘正从。
  注文:半广知,以盈补虚为直田也。亦可半正从以乘广。按半广乘从,以取中平之数,故广从相乘为积步。亩法除之,即得也。”

译文:用广(底边)的一半乘从(高)。取广的一半,是为了以盈补虚,使它变为长方形田。又可以取从的一半乘广。

  术中所说的方法可以图示出来。

这里写图片描述

  出入相补原理在方田章下文的邪田(直角梯形)、箕田(梯形)以至于圆田等几乎所有的求积计算中得到应用。
  出入相补的做法本质上都是把面临的问题转化为已经解决的问题——就是现在所说的“关系映射反演”方法,这是现代数学中最基本最重要的数学思想或者数学方法。

2、在“圆田术”注中的运用
  “术曰:半周半径相乘得积步。
  注文:按:半周为从,半径为广,故广从相乘为积步也。假令圆径二尺,圆中容六觚之一面,与圆径之半,其数均等。合径率一而外周率三也。”

译文:把半周作为从,半径作为广,按照方田术广从相乘即得到积步。假设圆的直径是2尺,那么圆内接正六边形的一边,与圆的半径,在数值上是相等的。这符合前人圆周长是直径三倍的认识。

  这是刘徽指出前人之说,并用出入相补原理推证。将圆内接正六边形的周长作为圆周长,正12变形的面积作为圆面积。如下图,形成一个以圆半径为广、正六边形周长的一半为从的长方形。这是对出入相补原理的进一步应用。

这里写图片描述

3、开方术解释

  刘徽对少广章开方术的注解是出入相补原理的一个出色的运用,得到了非常现代的数学结果。
  “开方。注文:求方幂之一面也。
  术曰:置积为实。借一算,步之,超一等。
  注文:言百之面十也。言万之面百也。
  术文:议所得,以一乘所借一算为法,而以除。
  注文:先得黄甲之面,上下相命,是自乘而除也。
  术文:除已,倍法为定法。
  注文:倍之者,豫张两面朱幂定袤,以待复除,故曰定法。
  术文:其复除,折法而下。
  注文:欲除朱幂者,本当副置所得成方,倍之为定法,以折、议、乘,而以除。如是当复步之而止,乃得相命。故使就上折下。
  术文:复置借算,步之如初。以复议一乘之。
  注文:欲除朱幂之角黄乙之幂,其意如初之所得也。
  术文:所得副以加定法,以除。以所得副从定法。
  注文:再以黄乙之面加定法者,是则张两青幂之袤。
  术文:复除,折下如前。”
  用图来解释刘徽的注文。

这里写图片描述

  设N的平方根有三位数,sqrt(N)=a+b+c,其中a=100a1是百位数,b=10b1是十位数,c是个位数。N是正方形ABCD的面积。
  开方时,先估计根的百位数a,就是“先得黄甲之面,上下相命,是自乘而除也”,从N中减去a2(黄甲),剩下曲尺形EABCGF。
  再求十位数b,从曲尺形中减去2ab+b2。就是减去两个朱幂,以及黄乙。
再求个位数c,从曲尺形中减去2(a+b)c+c2,就是两个青幂和黄丙。正好减尽。如位数不止3位,可以按上述继续做下去。
  开方术的这个算法,与现代笔算的开平方法完全一致。

"系统化思维导论"读后的思考与笔记-第一章-问题 1.在中国的古代,没有现代力学工程学,材料学上的一些理论,那也就没有通过如现代 设计一般复杂的计算与推理,但是古人一样将桥建得坚固,千年如一,这是怎么实现的 ,或者说,现代科学中之所以追求的定量的计算与推演,也并不是一如我以前想像的那 么重要.2.在定量与定性之间,可能古人求的是定性,现代的所谓建筑工程师求的是定量.3.如果说现代的设计是为了安全起见,但是,古代的也不见得不安全,像中国的古长城,象 阅读详情

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《程序员的数学:逻辑数学》-1 第一章0的故事

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bohu83的博客 678

读书笔记:《从一到无穷大》

这本书是看《数学之美》时发现的,原来是80年代的一本老书,但书中涉及的范围相当之广,从数字到无穷大,再到四维空间,再到相对论,再到微观世界,再到宏观世界,有些内容用一些简单的办法让人能够理解,具有高中知识的人也可以理解,而用复杂的复变函数或范函分析之类的术语,则会把大多数人吓跑。 看了豆瓣的评论,原来这本书并不是伽莫夫一个人写成的,里面也用了许多别人的成果,也就不去考证了。 http://bo...

weixin_30278237的博客 565

《深度学习的技术》-读书笔记

绪论 所谓「深度学习」,顾名思义,就是学东西不只看它浮在表面的东西,而是往深入去挖掘,甚至看到别人所未见的东西。 尽量不要 读书不求甚解,蜻蜓点水,贪多求全,最后养成了思维的惰性,只重量而不重质,只是把机械记忆一些知识点当成攀比的资本或谈资。 关于深度读书法,古代唐君毅先生写到: 「见文字平铺纸上,易;见若...

weixin_34419326的博客 160

数据挖掘中所需的概率论与数理统计知识

 目录(?)[-] 前言第一节微积分的基本概念 11极限 111数列的极限112函数的极限 12导数13微分14积分 15偏导数 第二节离散连续多维随机变量及其分布 21几个基本概念点22随机变量及其分布 221何谓随机变量222离散型随机变量的定义223随机变量分布函数定义的引出224连续型随机变量及其概率密度225各种分布的比较 第三节从数学期望方差协

程序猿单涛 1319

装X型学习动机体系:我对成就目标定向理论(装逼)的研究,怎么让自己充满动力,这个我期待太久了

人类以拥有某种珍稀性而自豪,这是一种非常正当的情感,因为人们的大脑本能使得他们会去爱慕和追求这种珍稀性,通过这些人的追捧和赞叹得到了某种珍稀性印证和反馈时,该主体就会得到极大的虚荣满足,释放的多巴胺会让一个人感受到无比的快乐。有启发意味着不能停留在展示的阶段,要知道,人是一种很骄傲的动物,要让别人信服口服,就必须得有理有据,以及在展示之外,多分享一些你个人的见解和看法。装逼有四个境界,无到有,有到精,精到稀,稀到自然,你到达的境界越高,别人就觉得你牛的深不可测,看你如同看向山海。

Debroon 2353

2025年科技与人文阅读精选:量子计算与AI创造力

量子计算和人工智能(AI)是当前科技领域的两大热点。量子计算利用量子比特的叠加态和纠缠特性,大幅提升计算能力,尤其在医药研发领域展现出巨大潜力,如加速分子结构模拟和新药开发。AI则通过ChatGPT-5等工具,挑战人类创造力的边界,但研究表明,人类独特的生活体验和情感共鸣仍是创意不可替代的核心。这些技术不仅推动科技进步,也在重塑工作方式和社交模式。通过深度阅读《量子计算革命》和《AI与人类创造力》等书籍,可以更全面地理解这些前沿技术的原理、价值及应用场景,为个人和职业发展提供新视角。

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HarmonyOS ArkTS API 24:构建智能学习笔记管理与复习规划平台“接口定义数据契约 + 类实现可观察行为“的设计模式在 ArkTS 中非常常见,它实现了数据结构与行为能力的分离

在移动互联网与智能穿戴设备高度普及的今天,"习惯养成"已经从一个模糊的自我管理理念,演变为一个可量化、可追踪、可视化的数字化产品赛道。越来越多的人希望借助手中的智能终端,把"早起、冥想、阅读、运动"这些抽象的自律行为,转化为一条条清晰的数据曲线和一张张可触摸的打卡卡片。而鸿蒙生态(HarmonyOS)凭借其跨设备协同、分布式软总线以及声明式 UI 开发框架 ArkUI,为这类注重"轻量化交互 + 即时反馈"的生活方式类应用提供了极为理想的生长土壤。本应用正是一款面向"晨间场景"深度打磨的习惯追踪工具。它聚焦

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