57、作为两个平衡数之和的2的幂

作为两个平衡数之和的2的幂

1. 相关定义与初步结论

首先，定义了一些关键参数：
- $\tau = \frac{\log 2}{\log \alpha}$
- $\mu = \frac{\log(\frac{1}{c_1})}{\log \alpha}$

由某些条件可知，因为$a < 3n$，根据Matveev定理得到的$n$的边界，可推出$M = 4.84188 \times 10^{15}$是$a$的一个上界。观察$\tau$的第32个收敛项$\frac{p_{32}}{q_{32}} = \frac{26195788993692987}{66618684047814617}$，此时$q_{32} > 6M$，且$\varepsilon = ||q_{32}\mu|| - M||q_{32}\tau|| = 0.45600573296\cdots > 0$。通过Bravo - Gómez - Luca定理（其中$A = 7$，$B = \alpha$），可以得出$n < \frac{\log(\frac{Aq_{32}}{\varepsilon})}{\log B} < 24$，这与$n > 100$的假设矛盾，从而完成了$B_n = 2^a$情况的证明。

2. 定理1的证明

考虑方程$B_n + B_m = 2^a$：
- 情况一：$n = m$
此时方程变为$B_n = 2^{a - 1}$，其唯一解为$B_1 = 1$。
- 情况二：$n > m \geq 1$
根据引