循环不变量

要证明循环正确，必须在以下三个环节中，考虑循环不变量的真假。

循环初始状态：在所有循环体执行前，循环不变量成立。

循环进行时：如果在一个循环体开始执行之前，不变量成立，那么在下一个循环体执行之前，不变量仍然成立。

循环终结后：当整个循环结束时，不变量可以直接说明算法的正确性。

以Insert sort为例，要证明其外循环的正确性。

INSERTION-SORT(A)
1  for j ← 2 to length[A]
2       do key ← A[j]
3          ▹ Insert A[j] into the sorted sequence A[1 ‥ j - 1].
4          i ← j - 1
5          while i > 0 and A[i] > key
6              do A[i + 1] ← A[i]
7                 i ← i - 1
8          A[i + 1] ← key

 

首先，用语言来描述本例的“循环不变量”——循环变量为j但循环未执行前，即A[1....j-1]来自输入且有序。

初始状态： j为2时，A[1...j-1] 就是 A[1]，明显来自输入且有序，不变量成立。

进行时：我们来判断，每一步循环体执行后，A[1...j-1]是否仍然有序。 假设循环变量为j时成立，则在循环变量为j+1时，A[1...j-1]来自输入且有序，添加的A[j+1]数据来自输入，且插入后整个数组呈有序状态，因此，每轮循环体执行后，不变量保持成立。

循环结束后：j此时为n+1, A[1....j-1]为A[1....n]，即整个数组，根据以上两条，不变量至此仍然是成立的，即整个数组为有序状态，达到算法预期的目的，可以判断循环正确！