树状数组优化DP

树状数组优化DP  

P1020导弹拦截  
本题要求出最长不升子序列和最长上升子序列的长度，
转移方程为 
$$f_i=\max_{j<i,a_j\ge a_i}f_j+1,g_i=\max_{j<i,a_j<a_i}f_j+1$$
 

 $$$ans1$$$ 就是 $$$\max\{f\}-1$$$, $$$ans2$$$ 就是 $$$\max\{g\}$$$ 。

好的，由于朴素DP时间为 $O(n^2)$，无法通过 $n=10^5$ 的测试点，这里就有了优化方法，
当然你也可以用二分，不过那样就没法知道具体内容了（二分代码文末给出 qwq

这里介绍 BIT 优化这个过程。每次我们要找出前面已经加入的比该数字小的数中函数值最大的，
由于 $a_i$ 值域很小，这里省去了离散化的过程 。可以用权值BIT解决此问题。
对于第一问，倒序枚举该数组，每次加入时 询问小于等于该数字的 最大值 ，再 $+1$，
更新 $ans1$，之后插入该数字到 $t_{a_i}$ 中（也可以称得上更新了） 

const int M=5e4;
struct BIT{
  int v[M+1];
  void add(int p,int x){
    for(;p<=M;p+=p&-p) v[p]=max(v[p],x);
  }
  int ask(int p){
    int ans=0;
    for(;p;p-=p&-p) ans=max(ans,v[p]);
    return ans;
  }
}t1,t2;
...
for(int i=n-1,f;~i;--i){
  t1.add(a[i],f=t1.ask(a[i])+1),ans1=max(ans1,f);
}

第二问则正序枚举即可，每次问小于该数字的最大值 
 

for(int i=0,f;i<n;++i){
  t2.add(a[i],f=t2.ask(a[i]-1)+1),ans2=max(ans2,f);
}

对于 最长不升子序列的划分数=`LIS` 的证明
假设 `LNIS` 的划分数 为 $a$ ，`LIS` 的长度为 $b$  
1. 由于 `LIS` 中的两个数满足 $x_1<x_2$，所以这两个数字不能划分在一个 `LNIS` 中，于是就有 $a>=b$
2. 设 `S[n]=` 以 $a$ 开头的 `LNIS` 长度为 $n$ 的 $a$ 的下标 构成的集合 ，共有 $S_1 \cdots S_n$ 这些。
比如，对序列 $\{1,4,2,5,6,3,2,5,7,3\}$, `LIS` = $\{1,2,3,5,7\}$ = $5$, `S[1]` = $\{1,7,10\}$, `S[2]` = $\{3,6,8,9\}$, `S[3]` = $\{2,4,5\},$ 
则可以发现，集合中的下标对应的元素是单调递增的，因为如果存在 `S[x[i]] >S[x[i+1]]` ，
则 $x_i$ 这个元素可以接在 $x_{i+1}$ 前，使得 以 $x_i$ 开头的 LNIS 长度变为 $x+1$，矛盾。 
于是就有 `S` 等价于 `LIS` 的结论。 （其实还是有疑问 qwq
***
参考代码：树状数组

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+1,M=5e4;
struct{
  int v[M+1];
  void add(int p,int x){
    for(;p<=M;p+=p&-p) v[p]=max(x,v[p]);
  } 
  int ask(int p){
    int ans=0;
    for(;p;p-=p&-p) ans=max(ans,v[p]);
    return ans;
  }
}t1,t2;
int a[N],n,ans1,ans2;
main(){
  //cin.tie(0)->sync_with_stdio(0);
  while(~scanf("%d",a+n))++n;
  for(int i=n-1,f;~i;--i)
    t1.add(a[i],f=t1.ask(a[i])+1),ans1=max(ans1,f);
  for(int i=0,f;i<n;++i)
    t2.add(a[i],f=t2.ask(a[i]-1)+1),ans2=max(ans2,f);
  cout<<ans1<<'\n'<<ans2;
}

参考代码：二分
 

//longest not increasing subsequence
//longest increasing subsequence
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[100001];
vector<int> lnis,lis;
#define pb push_back
main(){
  while(~scanf("%d",a+n))++n;
  lnis.pb(*a),lis.pb(*a);
  for(int i=1;i<n;++i){
    if(a[i]<=*lnis.rbegin()) lnis.pb(a[i]);
    else*upper_bound(lnis.begin(),lnis.end(),a[i],greater<int>())=a[i];
    if(a[i]>*lis.rbegin()) lis.pb(a[i]);
    else*lower_bound(lis.begin(),lis.end(),a[i])=a[i];
  }
  cout<<lnis.size()<<'\n'<<lis.size();
}