P3374 【模板】树状数组 1【题解】

本文以P3374为例讲解树状数组+单点修改/查询

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P3374 【模板】树状数组 1

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

• 将某一个数加上 $x$

• 求出某区间每一个数的和

输入格式

第一行包含两个正整数 $n,m$，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含 $n$ 个用空格分隔的整数，其中第 $i$ 个数字表示数列第 $i$ 项的初始值。

接下来 $m$ 行每行包含 $3$ 个整数，表示一个操作，具体如下：

• 1 x k 含义：将第 $x$ 个数加上 $k$

• 2 x y 含义：输出区间 $[x,y]$ 内每个数的和

输出格式

输出包含若干行整数，即为所有操作 $2$ 的结果。

样例 #1

样例输入 #1

5 5
1 5 4 2 3
1 1 3
2 2 5
1 3 -1
1 4 2
2 1 4

样例输出 #1

14
16

提示

【数据范围】

对于 $30\%$ 的数据，$1\le n\le 8$，$1\le m\le 10$；
对于 $70\%$ 的数据，$1\le n,m\le 10^4$；
对于 $100\%$ 的数据，$1\le n,m\le 5\times 10^5$。

数据保证对于任意时刻，$a$ 的任意子区间（包括长度为 $1$ 和 $n$ 的子区间）和均在 $[-2^{31},2^{31})$ 范围内。

样例说明：

故输出结果14、16

树状数组讲解

1.树状数组是什么：

是一种用来维护n个数前缀和信息的数据结构

2.树状数组怎么建立与使用：

(1)lowbit()函数：

①lowbit()函数是什么：

lowbit()函数用来取一个二进制最低位的1与后边的0组成的数，

比如$2_{(10)}=10_{(2)},$则$lowbit(2)=10_{(2)}=2_{(10)}$,

而$6_{(10)}=110_{(2)},$最低位的1是从左往右第2个,则$lowbit(6)=10_{(2)}=2_{(10)}$，

再如因为$20_{(10)}=10100_{(2)}$所以$lowbit(20)=100_{(2)}=4_{(10)}$

②lowbit()怎么实现：

我们经过学习知道，在计算机中，负数以其正值的补码形式表达：一个整数，按照绝对值大小转换成的二进制数，称为原码；将二进制数按位取反，所得的原二进制数的反码；反码加1得到补码

设原码是$a_1{a}_2{a}_3\dots a_n$($a_i$均为0或1)先取反码得$!a_1!a_2!a_3\dots !a_n$($!$为取反1->0,0->1)。

再加1，则会一直进位(即取反)至反码最右的0(原码中为1)，那么会变成$!a_1!a_2!a_3\dots a_x\dots a_n$(设$!a_x=0$,则$!a_{x+1}$~$!a_n均为1$),相当于把原码最右的1的左边都取反,其他数位不变。

我们再把x&(-x)（&是按位与）发现原码最右的1的左边都取反了不相等都得0，原码最右的1再补码中也是1得1，原码最右的1右边都同为0得0，显然得到的就是$lowbit(x)$

至此推得$lowbit(x)=x$&$(-x)$

③lowbit()与树状数组的关联

已知$lowbit(1)=1,lowbit(2)=2,lowbit(3)=1,lowbit(4)=4,lowbit(5)=1,lowbit(6)=4,lowbit(7)=1$

如图，连线表示父节点值是子节点各值和，点的编号就是在我们的树状数组相应的下标，树状数组上的每一点都有相应的区间，存的值就是这段区间的和

通过观察，树状数组t[i]一定包含了原数组a[i]的值。

此外我们可以发现一个节点的父节点编号($fid$)与当前节点编号($sid$)存在关系fid=sid+lowbit(sid)；

还有与某点(编号$id$) 范围($a[i]$~ $a[i+x]$) 相接的范围($a[j]$~$a[i-1]$)的点的编号($bid$)有关系bid=id-lowbit(id) 至于证明我不会

而且树状数组大小与原数组大小相等

(2)用lowbit()函数建造、使用树状数组

①建树

当我们得知a[i]时，先将t[i]+=a[i]，因为父节点值是覆盖子节点的，子变使父变，所以t[i]的父亲t[i+lowbit(i)]+=a[i] 也是必须的。如此循环把上一辈的值修改。但是祖祖辈辈无穷匮也，所以需要限定条件i<=n，我们不需要更早的祖先了。

因此需要for循环for(;i<=n;i+=lowbit(i)) t[i]+=a[i]

②维护

之所以会有树状数组就是因为原版的前缀和难以维护，一值修改后面的前缀和全要重新算。但树状数组不一样，修改量可以缩很多(详见下)。如a[i]增大x，就是要给树状数组上 所有覆盖了这个点的 区间的 点值增加x，具体和建树差不多循环for(;i<=n;i+=lowbit(i)) t[i]+=x就行了

③使用

我们辛辛苦苦写出来树状数组，那咋用呢？？？

它的本质其实是前缀和。比如我要求a[0]~a[i]的所有数的和，用树状数组就是一个for循环：for(;i!=0;i-=lowbit(i)) ans+=t[i]。(一直加前面有相邻区间的点的值直至加完)

于是就可以求任意区间的和了。

(3)完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int a[500005];
int t[500005];
int lowbit(int x){
	return x&(-x);
}
int sum(int x){
	int ans=0;
	for(;x;x-=lowbit(x)){
		ans+=t[x];
	}
	return ans;
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		for(int j=i;j<=n;j=j+lowbit(j)){
			t[j]+=a[i];
		}
	}
	
	while(m--){
		int work,x,y,k;
		cin>>work;
		if(work==1){
			cin>>x>>k;
			for(;x<=n;x=x+lowbit(x)){
				t[x]+=k;
			}
		}
		else{
			cin>>x>>y;
			cout<<sum(y)-sum(x-1)<<endl;
		}
	}
	return 0;
}

3.树状数组其他用法:

以上是为单点修改+区间查询，实际上还可以实现区间修改+单点查询(文章链接见上)、区间修改+区间查询(文章链接见上)

4.树状数组与其它数据结构时间复杂度对照：

操作\数据结构	数组	前缀和	线段树	树状数组
单点修改	$O(1)$	$O(n)$	$O(logn)$	$O(logn)$
区间修改和查询	$O(n)$	$O(1)$	$O(logn)$	$O(logn)$

写了一个晚上，能给个赞吗？QWQ

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