计算机视觉中的变分方法-扩散（Diffusion）

最近在看一个计算机视觉中的变分方法系列的视频，是德国慕尼黑工大出的，讲课老师是LSD-SLAM的作者Daniel Cremers，老师讲得很清楚，看了还是很有收获的。我已经变成Cremers大神的脑残粉了，有兴趣看视频的戳这里Variational Methods for Computer Vision

Diffusion equation:
扩散是一种物理过程，是让空间中的物质的浓度分布u(x,t)u(x,t)更加均匀一些。这个过程可以用两个基础的等式来描述：

Fick′slawFick′slaw : 空间物质的浓度的差别导致在浓度的负梯度方向上会有流jj。 这个也很好理解，意思就是说浓度高出的物质会往浓度低处扩散： 
j=−g∇u
j=−g∇u

其中， gg是扩散系数（diffusivity），表示扩散过程的快慢
continuitycontinuity equationequation : 
∂u∂t=−divj
∂u∂t=−divj

这里，divj=∇⋅j=∂jx∂x+∂jy∂ydivj=∇·j=∂jx∂x+∂jy∂y 称为散度。关于散度，其实在高等数学中有过介绍，通俗来讲，对于空间场中一点，如果该点散度大于00，则表示该点向外扩散物质（好比是该点是水龙头，向外流水）；如果该点散度等于00， 那就是扩散保持平衡，进多少出多少；如果散度小于00，那么就说明该点在吸收物质（就像黑洞一样吸收空间场中该点附近的物质）。 
关于散度的更多资料，可以参见知乎上这个回答在图像处理中，散度 div 具体的作用是什么
由上面两个基本的等式，联合起来就得到了今天要讲的扩散方程（DiffusionDiffusion equationequation）

∂u∂t=div（g∇u）
∂u∂t=div（g∇u）
Example: Linear Diffusion Equation
下面以一维线性扩散方程为例来说明。 
对于线性情况，g=1g=1: 
∂tu=∂2tu
∂tu=∂t2u

初始条件：
u(x,t=0)=f(x)
u(x,t=0)=f(x)

这个方程有唯一解： 
u(x,t)=(G2t√)∗f(x)=∫G2t√(x−x′)f(x′)dx′
u(x,t)=(G2t)∗f(x)=∫G2t(x−x′)f(x′)dx′
其中，Gσ=12πσ√exp(−x22σ2)Gσ=12πσexp(−x22σ2)，是一个高斯核，σ=2t−−√σ=2t
可以看到，高斯滤波其实是扩散的一种特例。但是我们都知道，用高斯滤波器对一个图像进行平滑滤波，由于高斯滤波器的各向同性，会使图像的边缘细节都变模糊，有时候这不是我们想要的结果。

Nonlinear and Anisotropic Diffusion
一般形式下的扩散方程： 
∂tu=div（g∇u）
∂tu=div（g∇u）
对图像滤波时，要想保持图像的边缘细节，可以在图像边缘信息强的地方少扩散一些，那么怎么做呢？ 
我们用梯度的模来作为检测边缘的算子|∇u|=u2x+u2y−−−−−−√|∇u|=ux2+uy2，那么在边缘处|∇u||∇u|的值就会比较大 ，然后再这些地方让扩散速率变小，可以构造这样的 gg: 
g（|∇u|）=11+|∇u|2/λ2−−−−−−−−−−−√
g（|∇u|）=11+|∇u|2/λ2
其中，λ>0λ>0,称为对比参数，在|∇u|>>λ|∇u|>>λ的区域，扩散速度接近于00，不受扩散的影响，所以可以保持该区域的细节。

关于这部分的详细资料，可以参考图像处理的经典论文11Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion

有限差分的实现
上面讲了各向异性的扩散方程，现在就来说明一下如何编程实现。这部分内参考的是 Weickert, J Anisotropic diffusion in image processing里的内容。

非线性扩散方程： 
∂tu=∂x（g|∇u|∂xu）+∂y（g|∇u|∂yu）
∂tu=∂x（g|∇u|∂xu）+∂y（g|∇u|∂yu）
用差分来代替微分：∂tu=ut+1ij−utijτ∂tu=uijt+1−uijtτ 
非线性扩散方程右边第一项就可以表示为：

∂x（g∂xu）=(（g∂xu）ti+1/2,j−（g∂xu）ti−1/2,j)∂x（g∂xu）=(（g∂xu）i+1/2,jt−（g∂xu）i−1/2,jt) 
=(gti+1/2,j(uti+1,j−uti,j)−gti−1/2,j(uti,j−uti−1,j))=(gi+1/2,jt(ui+1,jt−ui,jt)−gi−1/2,jt(ui,jt−ui−1,jt))
其中，gti+1/2,j=gi+1,jgi,j−−−−−−−√gi+1/2,jt=gi+1,jgi,j，说明只要这两个像素点处有一个的扩散速率gg为00，那么插值得到的gti+1/2,jgi+1/2,jt就会为00，而不是去这两者的平均值。

关于这段差分实现的公式部分，需要说明的是扩散方程中对x,yx,y是进行了二阶差分，注意在上面公式中，第一次对xx方向差分选择的两个点是(i,j)(i,j)旁边的两个点(i+1/2,j)和(i−1/2,j)(i+1/2,j)和(i−1/2,j)，然后又进行了一次差分，得到的结果中，用到的像素点位置只有(i,j),(i+1,j),(i−1,j)(i,j),(i+1,j),(i−1,j),这样还是在一个3x33x3的窗口操作的，如果按照以前的第一次差分是右边的(i+1,j)(i+1,j)减左边的(i−1,j)(i−1,j)，那么结果就会出现(i+2,j),(i−2,j)(i+2,j),(i−2,j)项，最后就是相当于用了5x55x5的窗口，大的窗口对于细节的保持是不利的。

Anisotropic Diffusion Matlab代码示例关于代码实现的这部分内容，可以进一步参考这里。 
使用示例： 

function diff_im = anisodiff2D(im, num_iter, delta_t, kappa, option)
%ANISODIFF2D Conventional anisotropic diffusion
%   DIFF_IM = ANISODIFF2D(IM, NUM_ITER, DELTA_T, KAPPA, OPTION) perfoms 
%   conventional anisotropic diffusion (Perona & Malik) upon a gray scale
%   image. A 2D network structure of 8 neighboring nodes is considered for 
%   diffusion conduction.
% 
%       ARGUMENT DESCRIPTION:
%               IM       - gray scale image (MxN).
%               NUM_ITER - number of iterations. 
%               DELTA_T  - integration constant (0 <= delta_t <= 1/7).
%                          Usually, due to numerical stability this 
%                          parameter is set to its maximum value.
%               KAPPA    - gradient modulus threshold that controls the conduction.
%               OPTION   - conduction coefficient functions proposed by Perona & Malik:
%                          1 - c(x,y,t) = exp(-(nablaI/kappa).^2),
%                              privileges high-contrast edges over low-contrast ones. 
%                          2 - c(x,y,t) = 1./(1 + (nablaI/kappa).^2),
%                              privileges wide regions over smaller ones. 
% 
%       OUTPUT DESCRIPTION:
%                DIFF_IM - (diffused) image with the largest scale-space parameter.
% 
%   Example
%   -------------
%   s = phantom(512) + randn(512);
%   num_iter = 15;
%   delta_t = 1/7;
%   kappa = 30;
%   option = 2;
%   ad = anisodiff2D(s,num_iter,delta_t,kappa,option);
%   figure, subplot 121, imshow(s,[]), subplot 122, imshow(ad,[])
% 
% See also anisodiff1D, anisodiff3D.

% References: 
%   P. Perona and J. Malik. 
%   Scale-Space and Edge Detection Using Anisotropic Diffusion.
%   IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 
%   12(7):629-639, July 1990.
% 
%   G. Grieg, O. Kubler, R. Kikinis, and F. A. Jolesz.
%   Nonlinear Anisotropic Filtering of MRI Data.
%   IEEE Transactions on Medical Imaging,
%   11(2):221-232, June 1992.
% 
%   MATLAB implementation based on Peter Kovesi's anisodiff(.):
%   P. D. Kovesi. MATLAB and Octave Functions for Computer Vision and Image Processing.
%   School of Computer Science & Software Engineering,
%   The University of Western Australia. Available from:
%   <http://www.csse.uwa.edu.au/~pk/research/matlabfns/>.
% 
% Credits:
% Daniel Simoes Lopes
% ICIST
% Instituto Superior Tecnico - Universidade Tecnica de Lisboa
% danlopes (at) civil ist utl pt
% http://www.civil.ist.utl.pt/~danlopes
%
% May 2007 original version.

% Convert input image to double.
im = double(im);

% PDE (partial differential equation) initial condition.
diff_im = im;

% Center pixel distances.
dx = 1;
dy = 1;
dd = sqrt(2);

% 2D convolution masks - finite differences.
hN = [0 1 0; 0 -1 0; 0 0 0];
hS = [0 0 0; 0 -1 0; 0 1 0];
hE = [0 0 0; 0 -1 1; 0 0 0];
hW = [0 0 0; 1 -1 0; 0 0 0];
hNE = [0 0 1; 0 -1 0; 0 0 0];
hSE = [0 0 0; 0 -1 0; 0 0 1];
hSW = [0 0 0; 0 -1 0; 1 0 0];
hNW = [1 0 0; 0 -1 0; 0 0 0];

% Anisotropic diffusion.
for t = 1:num_iter

        % Finite differences. [imfilter(.,.,'conv') can be replaced by conv2(.,.,'same')]
        nablaN = imfilter(diff_im,hN,'conv');
        nablaS = imfilter(diff_im,hS,'conv');   
        nablaW = imfilter(diff_im,hW,'conv');
        nablaE = imfilter(diff_im,hE,'conv');   
        nablaNE = imfilter(diff_im,hNE,'conv');
        nablaSE = imfilter(diff_im,hSE,'conv');   
        nablaSW = imfilter(diff_im,hSW,'conv');
        nablaNW = imfilter(diff_im,hNW,'conv'); 

        % Diffusion function.
        if option == 1
            cN = exp(-(nablaN/kappa).^2);
            cS = exp(-(nablaS/kappa).^2);
            cW = exp(-(nablaW/kappa).^2);
            cE = exp(-(nablaE/kappa).^2);
            cNE = exp(-(nablaNE/kappa).^2);
            cSE = exp(-(nablaSE/kappa).^2);
            cSW = exp(-(nablaSW/kappa).^2);
            cNW = exp(-(nablaNW/kappa).^2);
        elseif option == 2
            cN = 1./(1 + (nablaN/kappa).^2);
            cS = 1./(1 + (nablaS/kappa).^2);
            cW = 1./(1 + (nablaW/kappa).^2);
            cE = 1./(1 + (nablaE/kappa).^2);
            cNE = 1./(1 + (nablaNE/kappa).^2);
            cSE = 1./(1 + (nablaSE/kappa).^2);
            cSW = 1./(1 + (nablaSW/kappa).^2);
            cNW = 1./(1 + (nablaNW/kappa).^2);
        end

        % Discrete PDE solution.
        diff_im = diff_im + ...
                  delta_t*(...
                  (1/(dy^2))*cN.*nablaN + (1/(dy^2))*cS.*nablaS + ...
                  (1/(dx^2))*cW.*nablaW + (1/(dx^2))*cE.*nablaE + ...
                  (1/(dd^2))*cNE.*nablaNE + (1/(dd^2))*cSE.*nablaSE + ...
                  (1/(dd^2))*cSW.*nablaSW + (1/(dd^2))*cNW.*nablaNW );

        % Iteration warning.
        fprintf('\rIteration %d\n',t);
end
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作者：蜗牛一步一步往上爬 
来源：优快云 
原文：https://blog.youkuaiyun.com/yc461515457/article/details/50847526 
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左边是原图，右边是Anisotropic Diffusion结果图