快速幂

快速幂（取模）

• 快速幂
  • 矩阵快速幂

首先我们说一下取模规则：
(ab)%c=((a%c)(b%c))%c
(a±b)%c=((a%c)±(b%c))%c
注：千万千万不要漏掉了最外面的取余，漏掉就错了！！！

快速幂

对于aⁿ来说;如果n较小，我们可以直接计算，时间复杂度为O(n)，而如果n过大，可能在某些题中就会有超时的风险，所以我们有了快速幂来帮我们优化时间。
大致思路为：
1.将n转换为二进制数相加：如n=7,7的二进制为111，则7=2²+ 2¹ + 2⁰,所以a⁷=a^ 2² +a^ 2¹ + a^ 2⁰ ;

2.aⁿ = a^(n₀+n₁* 2¹+n₂ * 2²+……+n_n * 2ⁿ)
aⁿ=a^n₀ * a^(n₁ * 2¹) * a^(n₂ * 2²) …… a^(n_n * 2ⁿ)

3.n为偶数时，aⁿ=(a²)^(n/2)
n为奇数：aⁿ=a * (a²)^((n-1)/2)

typedef long long ll;
ll quickpow(ll a, ll n, ll mod)//a为底，n为指，mod为模
{
	ll ans=1;
	a=a%mod;
	while(n>0) 
	{
		if(n&1)//当n为奇数时		
			ans=(ans*a)%mod;//乘上剩下的一个n
		n>>=1;//进行二进制位移
		a=(a*a)%mod;//将a平方，更新a
	}
	return ans;
}

矩阵快速幂

矩阵快速幂可以求解常系数齐次线性递推式
类似于：f(n)=f(n-1)+f(n-2)+n+c;(c为常数）
方程有多少项，矩阵就有多少列；
典型：Fibonacci 数列（典型模板）：
$\left[\begin{array}{cc}Fn+1& Fn\\ Fn& Fn-1\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$ⁿ

其中$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$ⁿ这个矩阵可以由$\left[\begin{array}{cc}Fn+1& Fn\\ & \end{array}\right]$*$\left[\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right]$=$\left[\begin{array}{cc}Fn& Fn-1\\ & \end{array}\right]$求出
矩阵快速幂的函数和快速幂的函数基本一致，就是数的幂变成了矩阵的，也就是底数变成了矩阵，所以要涉及到矩阵的乘法，如：
$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ * $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{cc}1\ast 1+2\ast 3& 1\ast 2+2\ast 4\\ 3\ast 1+4\ast 3& 3\ast 2+4\ast 4\end{array}\right)$
详细内容会在线性代数中学到
矩阵乘法：

void mu(ll a[maxn][maxn],ll b[maxn][maxn])
{
    memest(c,0,sizeof(c));
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=n;j++)
	for(int k=1;k<=n;k++)
	{
		c[i][j]=(c[i][j]+a[i][k]*b[k][j]%mod)%mod;//注意取模
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
		b[i][j]=c[i][j];
}

$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$相当于代码中的a矩阵

快速幂

void qup(ll n)
{
	while(n>0)
	{
		if(n&1)
		{
			mu(a,b);//a,b为两个矩阵，可在主函数或这个函数中对他们进行初始化
		}
		mu(a,a);
		n>>=1;
	}
}