<think>我们有一个机器人,它在一个无限网格上移动,起始位置为(0,0)。网格的每个格子都有一个唯一的编号,编号规则如下:
从(0,0)开始,编号为0。
然后按照“右、上、左、下”的顺序,以螺旋方式向外扩展,每个方向走一步就转向,但步长会逐渐增加(具体规则见后)。
移动规则:
1. 首先向右移动1步,到达(1,0),编号为1。
2. 然后向上移动1步,到达(1,1),编号为2。
3. 然后向左移动2步,先到(0,1)(编号3),再到(-1,1)(编号4)。
4. 然后向下移动2步,先到(-1,0)(编号5),再到(-1,-1)(编号6)。
5. 然后向右移动3步,先到(0,-1)(编号7),再到(1,-1)(编号8),再到(2,-1)(编号9)。
6. 然后向上移动3步,先到(2,0)(编号10),再到(2,1)(编号11),再到(2,2)(编号12)。
7. 依此类推。
观察可知,每一步的移动方向按照“右、上、左、下”循环,而每一步的步长在第一次右和上时是1,然后左和下是2,然后右和上是3,然后左和下是4,以此类推。
即,第k轮(k从0开始):
- 第4k+1次移动(方向为右)的步长 = 2k+1
- 第4k+2次移动(方向为上)的步长 = 2k+1
- 第4k+3次移动(方向为左)的步长 = 2k+2
- 第4k+4次移动(方向为下)的步长 = 2k+2
但是,题目要求的是:给定一个移动指令序列(由字符组成的字符串,每个字符是'U','D','L','R'之一),表示机器人依次执行的移动(每一步移动一个单位格子)。要求计算执行完所有指令后,机器人所在位置对应的编号。
注意:机器人从(0,0)开始,初始编号为0。
然而,题目中给出的代码框架如下:
```cpp
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;
class Solution {
public:
long long getCellNumber(long long x, long long y) {
// 实现根据坐标(x, y)计算编号的逻辑
}
long long getFinalGridNumber(string instructions) {
long long x = 0, y = 0;
for (char c : instructions) {
if (c == 'R') x++;
else if (c == 'L') x--;
else if (c == 'U') y++;
else if (c == 'D') y--;
}
return getCellNumber(x, y);
}
};
```
但是,上述代码中,getCellNumber函数需要实现从坐标(x, y)到编号的映射。然而,题目中的移动规则是螺旋向外,因此直接根据坐标计算编号并不简单。
我们重新分析:实际上,题目要求的是根据移动指令序列(字符串)得到最终坐标,然后根据最终坐标计算编号。但是,由于螺旋编号的规则,我们需要找到一种方法,根据任意坐标(x,y)计算出编号。
观察螺旋的规律:
螺旋是按照“层”来构建的。定义:
第0层:只有一个点(0,0),编号0。
第1层:从(1,0)开始,到(1,1),然后(-1,1),(-1,-1),(0,-1)?实际上,我们观察上面的例子,第一圈(第一层)应该是从(1,0)到(1,1)到(-1,1)到(-1,-1)到(0,-1)?不对,实际上在第二步后(向上一步)就转向左两步,然后下两步,然后右三步...
另一种思路:我们可以根据坐标(x,y)所在的“正方形环”来定位。设n = max(|x|,|y|),那么点(x,y)一定在第n层(从0开始计数,第0层就是0,第1层就是max(|x|,|y|)=1,以此类推)。
第n层(n>=1)的起始编号是多少?
第0层:1个点(编号0)
第1层:8个点?实际上,第1层(n=1)的起始点(1,0)的编号为1,然后该层有8个点?不对,我们数一下:
第1层:从(1,0)开始,然后(1,1), (0,1), (-1,1), (-1,0), (-1,-1), (0,-1), (1,-1) -> 共8个点,但编号从1到8?不对,实际上编号1到8,然后第2层从9开始。
但是,我们之前描述的移动规则并不是这样,比如:
第一步:右1步:1个点(1,0)->编号1
第二步:上1步:1个点(1,1)->编号2
第三步:左2步:2个点(0,1)->3, (-1,1)->4
第四步:下2步:2个点(-1,0)->5, (-1,-1)->6
第五步:右3步:3个点(0,-1)->7, (1,-1)->8, (2,-1)->9
第六步:上3步:3个点(2,0)->10, (2,1)->11, (2,2)->12
所以,实际上第1层(n=1)只有编号1到8?不对,因为(0,1)和(0,-1)等点也在这一层,但(0,1)的max(|0|,|1|)=1,所以属于第1层。但是,我们数一下第1层(n=1)的点:
包括x=-1,0,1和y=-1,0,1,但要去掉(0,0)(因为(0,0)是第0层)。所以总共有8个点。
那么,第n层(n>=1)的点数为:8*n(因为每层边长增加2,所以周长增加8,但实际观察:第1层8个点,第2层有16个点?不对,我们数一下第2层(n=2):
第2层的点:max(|x|,|y|)=2,即x从-2到2,y从-2到2,去掉内部(即n<=1的点),共有(5*5-3*3)=16个点。所以第n层(n>=1)的点数为:8*n。
那么,第0层编号0,第1层编号从1到8,第2层编号从9到24(因为8*2=16,9+15=24),第3层从25到48(8*3=24,25+23=48)?不对,因为第2层实际有16个点,所以编号1到8(8个)是第1层,9到24(16个)是第2层,第3层有24个点?不对,应该是8*n,所以第3层有24个点,编号从25到48(24个点)。
因此,第n层(n>=1)的起始编号为:1 + 8*(1+2+...+(n-1)) = 1 + 8 * (n-1)*n/2 = 1 + 4*n*(n-1)
验证:
第1层:n=1 -> 1 + 4*1*0 = 1,正确。
第2层:n=2 -> 1 + 4*2*1 = 9,正确。
第3层:n=3 -> 1 + 4*3*2 = 25,正确。
那么,对于一个点(x,y),设n = max(|x|,|y|),如果n=0,则编号为0。
否则,它位于第n层,该层的起始编号为:base = 1 + 4*n*(n-1)
然后,我们需要计算它在第n层中的位置(从0开始计数)。第n层有8*n个点,那么它在第n层中的序号(从0开始)为k,则总编号为 base + k。
如何计算k?
我们观察第n层的结构:从点(n, 1-n)开始?实际上,第n层从(n, 1-n)开始?不对,应该从(n, n-1)的右边一个位置开始?实际上,我们观察第1层(n=1):
起始点(1,0) -> 然后向上到(1,1) -> 然后向左到(0,1),(-1,1) -> 然后向下到(-1,0),(-1,-1) -> 然后向右到(0,-1),(1,-1) -> 然后向上到(1,0)?不对,实际上我们是从(1,0)开始,然后向上到(1,1),然后向左到(-1,1),然后向下到(-1,-1),然后向右到(1,-1)?不对,实际上我们只到了(1,-1)就结束了这一圈?但是,按照螺旋规则,下一圈应该从(2,-1)开始?不对,我们之前的移动规则是:右1,上1,左2,下2,右3,上3,左4,下4,...
另一种描述:第n层从点(n, 1-n)开始?不对,应该是从(n, n-1)开始?也不对。
实际上,第n层(n>=1)的起点是(n, 1-n)吗?我们观察第1层起点(1,0),而1-1=0,所以起点是(1,0)。第2层起点应该是(2,-1)?因为n=2时,起点为(2,1-2)=(2,-1),而之前例子中第2层第一个点是(2,-1)吗?不对,在第五步右3步时,第一个点是(0,-1)(编号7)?不对,我们重新整理:
我们按照移动步骤来:
第0步:在(0,0)编号0。
第1步(右1步):(1,0) -> 编号1。
第2步(上1步):(1,1) -> 编号2。
第3步(左2步):(0,1) -> 3, (-1,1) -> 4。
第4步(下2步):(-1,0) -> 5, (-1,-1) -> 6。
第5步(右3步):(0,-1) -> 7, (1,-1) -> 8, (2,-1) -> 9。
第6步(上3步):(2,0) -> 10, (2,1) -> 11, (2,2) -> 12。
第7步(左4步):(1,2) -> 13, (0,2) -> 14, (-1,2) -> 15, (-2,2) -> 16。
第8步(下4步):(-2,1) -> 17, (-2,0) -> 18, (-2,-1) -> 19, (-2,-2) -> 20。
第9步(右5步):(-1,-2) -> 21, (0,-2) -> 22, (1,-2) -> 23, (2,-2) -> 24, (3,-2) -> 25。
所以,第1层(n=1)包括点:从(1,0)到(1,1)到(-1,1)到(-1,-1)到(1,-1)?不对,实际上(1,0)到(1,1)到(-1,1)到(-1,-1)到(1,-1)?但是(0,1)和(0,-1)也在内,所以第1层(n=1)包括所有满足max(|x|,|y|)=1的点(除了(0,0)),共8个点:编号1到8。
第2层(n=2)包括所有满足max(|x|,|y|)=2的点,共16个点:编号9到24(因为9+15=24,共16个点)?但是上面我们数到了25,而且第2层实际上是从编号9到24(16个点),然后第3层从25开始。
因此,第n层的起点坐标是(n, 1-n)吗?我们看第1层起点(1,0) -> (1,1-1)= (1,0) 正确。
第2层起点:按照上面的移动,第2层第一个点应该是(2,-1)?但是我们在第5步(右3步)中,第一个点是(0,-1)(编号7)?不对,实际上第5步是右3步,它从(-1,-1)开始向右移动,第一步到(0,-1)(编号7),然后(1,-1)(编号8),然后(2,-1)(编号9)。所以第2层第一个点是(0,-1)?不对,因为(0,-1)的max(|0|,|1|)=1,属于第1层,所以第2层的第一个点应该是(2,-1)(编号9)?但是(0,-1)的编号7和(1,-1)的编号8也出现在第1层之后,第2层之前?这不符合按层编号。
重新思考:我们之前定义的层数n=max(|x|,|y|)是正确的。那么(0,-1)的max(|0|,|1|)=1,所以属于第1层,而(2,-1)的max(|2|,|1|)=2,属于第2层。所以第2层的第一个点确实是(2,-1)(编号9)。
那么,第n层的起点坐标是(n, 1-n)?对于第2层:n=2,起点(2,1-2)=(2,-1) 正确。
然后,第n层按照如下顺序:
1. 从(n, 1-n)开始,向上移动:y坐标增加,直到(n, n) -> 移动步数:从y=1-n到y=n,步数为 (n) - (1-n) = 2n-1 个点?不对,因为从(2,-1)向上移动到(2,2)需要3步(即移动3个点:-1->0, 0->1, 1->2,共3个点,即2n-1=3,n=2)。但是,我们观察第2层:从(2,-1)向上移动,经过(2,0)(编号10)、(2,1)(编号11)、(2,2)(编号12)-> 共3个点(即2n-1个点?不对,2n=4,2n-1=3,正确)。
2. 然后向左移动:从(2,2)向左,经过(1,2)(编号13)、(0,2)(编号14)、(-1,2)(编号15)、(-2,2)(编号16)-> 移动4步(即2n步?因为n=2,2n=4)。但是,按照移动规则,第2层应该是左移4步?不对,在移动规则中,第3次移动(左)的步长是2(当k=0时,左移步长=2k+2=2),第7次移动(左)的步长是4(k=1,左移步长=2k+2=4)。所以这里向左移动4步。
3. 然后向下移动:从(-2,2)向下,经过(-2,1)(编号17)、(-2,0)(编号18)、(-2,-1)(编号19)、(-2,-2)(编号20)-> 移动4步(2n步)。
4. 然后向右移动:从(-2,-2)向右,经过(-1,-2)(编号21)、(0,-2)(编号22)、(1,-2)(编号23)、(2,-2)(编号24)-> 移动4步(2n步)。但是,这里我们只移动了4步,而第2层应该有8n=16个点?我们数一下:向上3个点(不包括起点?),不对,起点(2,-1)算第一个点,然后向上3步(3个点)到(2,2)(共4个点:起点+3步=4个点),然后向左4步(4个点),然后向下4步(4个点),然后向右4步(4个点),总共4+4+4+4=16个点?不对,因为起点已经算在向上移动的过程中了吗?实际上,向上移动:从(2,-1)到(2,2)需要3步(即3个新位置),加上起点,共4个点。然后向左:从(2,2)到(-2,2)需要4步(4个新位置,因为起点(2,2)已经算在上一步的终点,所以这里从(1,2)开始算?不对,我们重新算:
第2层:
起点(2,-1) -> 编号9(第一个点)
向上:移动到(2,0) -> 10, (2,1)->11, (2,2)->12 (共3个点,加上起点,共4个点)
向左:从(2,2)向左,第一步到(1,2)->13, (0,2)->14, (-1,2)->15, (-2,2)->16 (4个点,现在共8个点)
向下:从(-2,2)向下,第一步到(-2,1)->17, (-2,0)->18, (-2,-1)->19, (-2,-2)->20 (4个点,共12个点)
向右:从(-2,-2)向右,第一步到(-1,-2)->21, (0,-2)->22, (1,-2)->23, (2,-2)->24 (4个点,共16个点)
所以,第2层共16个点(8*2=16),编号9到24。
那么,在每一层中,我们分为4个边(上、左、下、右),每条边的点数(不包括起点)为:
上边:从y=1-n到y=n,所以有 (n) - (1-n) = 2n-1 个点?不对,实际上上边包括起点吗?我们上面计算时,起点是单独算的,然后向上移动(2n-1)步?不对,我们观察:第2层向上移动了3步(即3个点),而3=2*2-1,所以上边有2n-1个点(不包括起点?不对,起点是第一个点,然后向上移动2n-1步,得到2n-1个新点,所以上边共有2n个点?不对,因为起点已经算在上一步的终点?实际上,我们每一层的起点就是该层的第一个点。
因此,我们可以将第n层分为4段:
第一段(上边):从(n, 1-n)到(n, n),这一段的点数为:2n-1 + 1? 实际上,从y=1-n到y=n,共有 n - (1-n) + 1 = 2n 个点?不对,整数点个数:从a到b(包含)共有 b-a+1 个点。所以从1-n到n,共有 n - (1-n) + 1 = 2n 个点。但是,我们上面计算第2层时,上边有4个点(包括起点(2,-1)和(2,0)、(2,1)、(2,2))?不对,起点(2,-1)是第一个点,然后向上移动3步(3个点)到(2,2),所以上边共4个点(起点+3个新点)-> 即2n个点(n=2时,4个点)。所以上边有2n个点。
但是,我们观察第1层(n=1)的上边:从(1,0)到(1,1) -> 2个点(起点(1,0)和(1,1))-> 2n=2,正确。
所以:
第n层分为4段,每段有2n个点?不对,因为总点数是8n,所以每段应该是2n个点?那么4段就是8n,正确。
但是,我们上面将第2层分为4段,每段点数:上边4个点(2n=4),左边4个点,下边4个点,右边4个点,共16个点。
那么,4段分别是:
1. 上边:从(n, 1-n)到(n, n) -> 方向:向上移动,x固定为n,y从1-n到n(递增)。
2. 左边:从(n, n)到(-n, n) -> 方向:向左移动,y固定为n,x从n到-n(递减)。
3. 下边:从(-n, n)到(-n, -n) -> 方向:向下移动,x固定为-n,y从n到-n(递减)。
4. 右边:从(-n, -n)到(n, -n) -> 方向:向右移动,y固定为-n,x从-n到n(递增)。注意:这里只到(n-1,-n)?不对,因为最后一步是(n,-n),但是这一层的起点是(n,1-n),所以最后一步应该是(n-1,-n)?不对,我们看第2层:右边是从(-2,-2)到(2,-2)?但是(2,-2)是终点,而起点是(2,-1),所以实际上右边只到(2,-2)?不对,因为(2,-2)的max(|2|,|2|)=2,属于第2层,所以包括。但是,我们最后一步到达(2,-2)后,这一层就结束了。
所以,4段:
1. 上边:x=n, y从(1-n)到n(包含)-> 共2n个点(因为y从1-n到n,共n-(1-n)+1=2n个点)
2. 左边:y=n, x从n-1到-n(递减)-> 注意:这里起点(n,n)已经在上边的最后一点,所以左边从(n-1,n)开始,到(-n,n)结束,共2n个点?因为x从n-1到-n,步长为1,共n-1-(-n)+1=2n个点。
3. 下边:x=-n, y从n-1到-n(递减)-> 起点(-n,n)已经在左边最后一点,所以下边从(-n,n-1)开始,到(-n,-n)结束,共2n个点(y从n-1到-n,共n-1-(-n)+1=2n个点?不对,y从n-1到-n,步长为-1,点数为n-1-(-n)+1=2n个点?例如n=2:y从1到-2,共1,0,-1,-2 -> 4个点,2n=4,正确)。
4. 右边:y=-n, x从-n+1到n(递增)-> 起点(-n,-n)已经在下边的最后一点,所以右边从(-n+1,-n)开始,到(n,-n)结束,共2n个点?x从-n+1到n,共n-(-n+1)+1=2n个点。
但是,这样划分,整个第n层有8n个点,符合要求。
那么,给定点(x,y),n=max(|x|,|y|y||),如何计算它在第n层中的位置(即k)?
我们分情况讨论:
情况1:点在上边(x=n,且y从1-n到n)
k = (y - (1-n)) // 即从起点(n,1-n)开始,向上移动的步数(从0开始计数)
但是,起点(n,1-n)是这一层的第一个点,所以k0 = y - (1-n) (因为y从1-n到n,所以k0从0到2n-1)
情况2:点在左边(y=n,且x从n-1递减到-n)
上边已经走完了2n个点,所以左边从第2n个点开始(即上边的最后一个点是(n,n),然后左边第一个点是(n-1,n))。
在左边,x从n-1到-n,所以步数 = (n-1) - x (因为x递减,所以用起点x=n-1减去当前x得到步数)
那么,k = 2n + (n-1 - x)
情况3:点在下边(x=-n,且y从n-1递减到-n)
上边和左边共4n个点,下边从第4n个点开始(即左边最后一个点是(-n,n),然后下边第一个点是(-n,n-1))。
在下边,y从n-1到-n,所以步数 = (n-1) - y (因为y递减,所以步数用起点y=n-1减去当前y)
那么,k = 4n + (n-1 - y)
情况4:点在右边(y=-n,且x从-n+1递增到n)
上边、左边、下边共6n个点,右边从第6n个点开始(即下边最后一个点是(-n,-n),然后右边第一个点是(-n+1,-n))。
在右边,x从-n+1到n,所以步数 = x - (-n+1)
那么,k = 6n + (x - (-n+1)) = 6n + (x + n - 1)
但是,注意:我们这样划分,第n层的点被分成了4段,每段2n个点,所以k的范围是0到8n-1。
验证第1层(n=1):
点(1,0):在上边,x=1, y=0,满足上边条件(x=n=1,且y=0在[1-1,1]即[0,1]区间内)
k = 0 - (1-1) = 0 -> 正确(第一个点,k=0)
点(1,1):在上边,k=1-(1-1)=1 -> 第二个点,正确。
点(0,1):在左边,y=1=n,且x=0(在n-1=0到-n=-1之间?注意,x从n-1=0到-n=-1,所以x=0在范围内)
k = 2*1 + (1-1-0) = 2+0=2 -> 第三个点,正确。
点(-1,1):在左边,k=2*1+(1-1-(-1))=2+(0+1)=3 -> 第四个点,正确。
点(-1,0):在下边,x=-1=n? 不对,n=1,x=-1=-n,且y=0(在n-1=0到-n=-1之间?递减:0, -1)-> 满足下边条件
k = 4*1 + (1-1-0)=4+0=4 -> 第五个点,正确。
点(-1,-1):在下边,k=4*1+(1-1-(-1))=4+1=5 -> 第六个点,正确。
点(0,-1):在右边,y=-1=-n,且x=0(在-n+1=0到n=1之间?递增:从0到1)-> 满足
k = 6*1 + (0+1-1)=6+0=6 -> 第七个点,正确。
点(1,-1):在右边,k=6*1+(1+1-1)=6+1=7 -> 第八个点,正确。
验证通过。
但是,注意特殊情况:四个角点(即(n,n), (-n,n), (-n,-n), (n,-n))会被重复计算吗?不会,因为:
(n,n):
在上边:y=n,所以属于上边(情况1),不会同时属于左边(因为情况2要求y=n且x<=n-1,而(n,n)的x=n,所以情况2的条件x<=n-1不满足,所以不会进入情况2)。
(-n,n):
在左边:x=-n,但是情况2的条件是y=n且x从n-1到-n,所以(-n,n)属于情况2(左边)的最后一个点。同时,它满足情况3(下边)的x=-n和y=n,但情况3要求y<=n-1(因为下边的y从n-1递减到-n),而y=n>n-1,所以不会进入情况3。
(-n,-n):
属于下边的最后一个点(情况3),同时满足情况4(右边)的y=-n和x=-n,但情况4要求x>=-n+1(因为右边x从-n+1开始),而x=-n<-n+1,所以不会进入情况4。
(n,-n):
属于右边(情况4)的最后一个点,同时满足上边(情况1)的条件:x=n,y=-n,但是情况1要求y>=1-n,而n>=1时,1-n<=0,而y=-n<0,所以当n>1时,-n<1-n(因为1-n>0?不对,例如n=2,1-2=-1,-2<-1,所以不满足情况1的条件。所以不会重复。
因此,我们可以这样写:
long long getCellNumber(long long x, long long y) {
if (x == 0 && y == 0) return 0;
long long n = max(abs(x), abs(y));
long long base = 1 + 4 * n * (n-1); // 第n层的起始编号
long long k = 0;
// 情况1:上边 (x==n, 且 y从1-n到n)
if (x == n && y >= 1-n && y <= n) {
k = y - (1-n); // 从0开始计数
}
// 情况2:左边 (y==n, 且 x从n-1到-n)
else if (y == n && x < n && x >= -n) {
k = 2*n + (n-1 - x);
}
// 情况3:下边 (x==-n, 且 y从n-1到-n) 注意:这里y递减,从n-1到-n
else if (x == -n && y <= n-1 && y >= -n) {
k = 4*n + (n-1 - y);
}
// 情况4:右边 (y==-n, 且 x从-n+1到n) 注意:这里x递增,从-n+1到n
else if (y == -n && x > -n && x <= n) {
k = 6*n + (x - (-n+1));
}
return base + k;
}
但是,注意:上面的情况2中,条件x<n且x>=-n,而情况1中x==n,所以情况1和2不会同时满足。同样,情况3要求x==-n,情况4要求y==-n,所以不会冲突。
但是,我们考虑一个点(1,1)(n=1):
情况1:x==1(等于n=1),y=1在[0,1]区间内(1>=0且1<=1),所以进入情况1:k=1-0=1 -> 正确。
点(0,1)(n=1):
情况2:y=1==n,且x=0(在n-1=0到-n=-1之间?注意:x>= -1 且 x<1,所以0满足),所以k=2*1 + (1-1-0)=2 -> 正确。
但是,点(0,0)(n=0)已经被特判。
注意:坐标可能是负数,但我们的n是max(|x|,|y|),所以非负。
但是,有一个问题:我们上面的情况2、3、4的条件中,对于边界点,我们通过严格的条件避免了重复。但是,我们考虑点(1,1)(n=1)只进入情况1,不会进入情况2,因为情况2要求y==n且x<n,而(1,1)的x=n,所以不会进入情况2。
因此,我们可以这样实现。
但是,我们还要注意:坐标可能是负数,所以情况1中,x==n,而n是正数,所以x为正数。同样,情况3中x==-n,所以x为负数。
但是,我们考虑点(-1,0)(n=1):
n=1,点(-1,0) -> 情况3:x==-1(等于-n=-1),且y=0(在n-1=0到-n=-1之间?注意:0<=0<=0? 不对,因为n-1=0,-n=-1,所以区间是[-1,0]?不对,我们条件中写的是“y<=n-1且y>=-n”,即0<=0<=0?不对,我们写的是“y<=n-1”(即0<=0)和“y>=-n”(即0>=-1)成立,所以进入情况3:k=4*1 + (1-1-0)=4 -> 正确(编号为base+4=1+4=5,而base=1,所以编号5,正确)。
但是,点(-1,0)的y=0,而n-1=0,所以条件“y<=n-1”是0<=0,成立。
所以,这个逻辑可以覆盖所有情况。
但是,我们考虑点(2,1)(n=2):
n=2,base=1+4*2*1=9
情况1:x==2(等于n),y=1(在1-2=-1到2之间),所以进入情况1:k=1-(-1)=2 -> 编号=9+2=11(正确,因为(2,1)编号11)
点(1,2)(n=2):
情况2:y=2==n,且x=1(<2且>=-2),所以k=2*2 + (2-1-1)=4+0=4 -> 编号=9+4=13(正确)
点(-2,1)(n=2):
情况3:x=-2==-n,y=1(<=2-1=1,且>=-2)-> 满足,所以k=4*2 + (2-1-1)=8+0=8 -> 编号=9+8=17(正确)
点(1,-2)(n=2):
情况4:y=-2==-n,x=1(> -2 且 <=2),所以k=6*2 + (1 - (-2+1)) = 12 + (1-(-1))=12+2=14 -> 编号=9+14=23(正确)
因此,我们可以实现getCellNumber函数。
但是,注意:题目中移动指令字符串可能很长,但我们的getFinalGridNumber函数已经通过循环得到最终坐标(x,y),然后调用getCellNumber(x,y)即可。
但是,坐标范围可能很大(因为指令字符串长度最大可能是10^5,所以x和y的范围可能是[-10^5,10^5]),所以我们的n最大为10^5,而计算base=1+4*n*(n-1)时,n*(n-1)最大为10^10,乘以4后为4e10,加上1还在long long范围内(long long通常为64位,最大约9e18)。
所以,我们可以这样写。
但是,我们还要注意:在情况4中,x - (-n+1) = x + n - 1,这里x和n都是整数,所以没问题。
因此,我们修改代码:
注意:我们定义n = max(|x|, |y|),当x和y都是0时,n=0。
代码实现:
long long getCellNumber(long long x, long long y) {
if (x == 0 && y == 0) {
return 0;
}
long long n = max(abs(x), abs(y));
long long base = 1 + 4 * n * (n-1); // 第n层的起始编号
long long k = 0;
// 情况1:上边 (x == n, 且 y 在 [1-n, n] 区间)
if (x == n && y >= 1-n && y <= n) {
k = y - (1 - n); // 从0到2n-1
}
// 情况2:左边 (y == n, 且 x 在 [-n, n-1] 区间) 注意:x从n-1递减到-n,所以x<=n-1且x>=-n
else if (y == n && x >= -n && x < n) { // 这里x<n,因为x=n的情况已经被情况1排除(情况1要求x==n,所以情况2中x不会等于n)
k = 2 * n + (n - 1 - x);
}
// 情况3:下边 (x == -n, 且 y 在 [-n, n-1] 区间) 注意:y从n-1递减到-n,所以y<=n-1且y>=-n
else if (x == -n && y >= -n && y < n) { // 这里y<n,因为y=n的情况在情况2中(情况2要求y==n,所以情况3中y不会等于n)
k = 4 * n + (n - 1 - y);
}
// 情况4:右边 (y == -n, 且 x 在 [-n+1, n] 区间) 注意:x从-n+1递增到n,所以x>=-n+1且x<=n
else if (y == -n && x > -n && x <= n) { // 这里x>-n,因为x=-n的情况在情况3中
k = 6 * n + (x - (-n + 1));
}
return base + k;
}
但是,注意:情况2的条件中,我们写的是x>= -n && x < n,而情况3的条件是y>= -n && y < n。这样写可以避免重复。
我们测试一下(0,0)已经特判,然后测试(1,0)(情况1):
n=1, base=1+4*1*0=1
x=1==n, y=0: 0>=1-1=0 -> true, 0<=1 -> true -> k=0-(1-1)=0 -> 1+0=1 -> 正确。
测试(0,1)(情况2):
n=1, base=1
x=0, y=1 -> 满足y==1(n=1)且x>= -1且x<1 -> 0满足 -> k=2*1+(1-1-0)=2+0=2 -> 1+2=3 -> 正确(编号3)
测试(-1,0)(情况3):
n=1, base=1
x=-1, y=0 -> 满足x==-1(等于-n)且y>= -1且y<1 -> 0满足 -> k=4*1+(1-1-0)=4+0=4 -> 1+4=5 -> 正确
测试(0,-1)(情况4):
n=1, base=1
y=-1, x=0 -> 满足y==-1(等于-n)且x> -1(0>-1)且x<=1 -> 满足 -> k=6*1+(0-(-1+1))=6+(0-0)=6 -> 1+6=7 -> 正确
因此,我们按照这个实现。
但是,注意:坐标可能是负数,而我们的条件判断中,对于负数的比较没有问题。
最后,我们修改给定的代码:
注意:题目中getFinalGridNumber函数已经通过循环得到最终坐标(x,y),然后调用getCellNumber(x,y)返回即可。
但是,我们需要注意:题目中的移动指令中,'U'是y增加还是减少?在题目中,机器人移动:
'R': x++
'L': x--
'U': y++ // 向上,y增加
'D': y-- // 向下,y减少
而在我们的螺旋网格中,向上是y增加,向下是y减少,所以坐标系是:x向右为正,y向上为正。
因此,我们不需要调整坐标系。
所以,最终代码:
```cpp
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm> // 为了使用max
using namespace std;
class Solution {
public:
long long getCellNumber(long long x, long long y) {
if (x == 0 && y == 0) {
return 0;
}
long long n = max(abs(x), abs(y));
long long base = 1 + 4 * n * (n-1);
long long k = 0;
// 情况1:上边 (x == n, 且 y 在 [1-n, n] 区间)
if (x == n && y >= 1-n && y <= n) {
k = y - (1 - n);
}
// 情况2:左边 (y == n, 且 x 在 [-n, n-1] 区间)
else if (y == n && x >= -n && x < n) {
k = 2 * n + (n - 1 - x);
}
// 情况3:下边 (x == -n, 且 y 在 [-n, n-1] 区间)
else if (x == -n && y >= -n && y < n) {
k = 4 * n + (n - 1 - y);
}
// 情况4:右边 (y == -n, 且 x 在 [-n+1, n] 区间)
else if (y == -n && x > -n && x <= n) {
k = 6 * n + (x - (-n + 1));
}
return base + k;
}
long long getFinalGridNumber(string instructions) {
long long x = 0, y = 0;
for (char c : instructions) {
if (c == 'R') x++;
else if (c == 'L') x--;
else if (c == 'U') y++;
else if (c == 'D') y--;
}
return getCellNumber(x, y);
}
};
```
但是,我们还需要测试一些点:
(0,0):0 -> 正确
(1,0):1 -> 正确
(1,1):2 -> 正确
(0,1):3 -> 正确
(-1,1):4 -> 正确
(-1,0):5 -> 正确
(-1,-1):6 -> 正确
(0,-1):7 -> 正确
(1,-1):8 -> 正确
(2,-1):9 -> 正确
(2,0):10 -> 正确
(2,1):11 -> 正确
(2,2):12 -> 正确
(1,2):13 -> 正确
(0,2):14 -> 正确
(-1,2):15 -> 正确
(-2,2):16 -> 正确
(-2,1):17 -> 正确
(-2,0):18 -> 正确
(-2,-1):19 -> 正确
(-2,-2):20 -> 正确
(-1,-2):21 -> 正确
(0,-2):22 -> 正确
(1,-2):23 -> 正确
(2,-2):24 -> 正确
因此,我们输出这个代码。
注意:题目没有说明指令字符串的长度,但我们的循环是O(n)的,而getCellNumber是O(1)的,所以总时间复杂度O(n),可以接受。
但是,我们还要注意:题目中可能要求处理大整数,所以我们使用long long。
提交代码。</think>为了解决根据移动指令序列计算机器人最终位置在无限螺旋网格中的编号问题,我们需要实现两个关键功能:首先解析移动指令序列得到最终坐标,然后根据该坐标在螺旋网格中的位置计算唯一编号。螺旋网格的编号规则是从原点(0,0)(编号0)开始,按“右、上、左、下”的顺序螺旋向外扩展,每层的步长逐渐增加。
### 方法思路
1. **解析移动指令序列**:遍历指令字符串,根据每个字符('R'、'L'、'U'、'D')更新机器人的坐标(x, y)。
2. **坐标到编号的映射**:
- **层数计算**:对于给定坐标(x, y),层数n为max(|x|, |y|)。
- **基础编号**:第n层的起始编号为1 + 4 * n * (n - 1)。
- **位置索引**:根据坐标所在层的哪一边(上、左、下、右)计算在层内的索引k:
- **上边**(x = n, y ∈ [1 - n, n]):k = y - (1 - n)
- **左边**(y = n, x ∈ [-n, n - 1]):k = 2n + (n - 1 - x)
- **下边**(x = -n, y ∈ [-n, n - 1]):k = 4n + (n - 1 - y)
- **右边**(y = -n, x ∈ [-n + 1, n]):k = 6n + (x + n - 1)
- **最终编号**:基础编号 + 位置索引k。
### 解决代码
```cpp
#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
class Solution {
public:
long long getCellNumber(long long x, long long y) {
if (x == 0 && y == 0) {
return 0;
}
long long n = max(abs(x), abs(y));
long long base = 1 + 4 * n * (n - 1);
long long k = 0;
if (x == n && y >= (1 - n) && y <= n) {
k = y - (1 - n);
}
else if (y == n && x >= -n && x < n) {
k = 2 * n + (n - 1 - x);
}
else if (x == -n && y >= -n && y < n) {
k = 4 * n + (n - 1 - y);
}
else if (y == -n && x > -n && x <= n) {
k = 6 * n + (x - (-n + 1));
}
return base + k;
}
long long getFinalGridNumber(string instructions) {
long long x = 0, y = 0;
for (char c : instructions) {
if (c == 'R') x++;
else if (c == 'L') x--;
else if (c == 'U') y++;
else if (c == 'D') y--;
}
return getCellNumber(x, y);
}
};
```
### 代码解释
1. **getCellNumber函数**:计算给定坐标(x, y)在螺旋网格中的编号。
- 若坐标为(0,0),直接返回0。
- 计算层数n作为最大绝对值坐标。
- 计算该层起始编号base。
- 根据坐标所在层的哪一边计算位置索引k。
- 返回基础编号base加上位置索引k。
2. **getFinalGridNumber函数**:解析移动指令序列。
- 初始化坐标(0,0)。
- 遍历指令字符串,更新坐标。
- 调用getCellNumber计算最终编号并返回。
### 测试用例
- **输入**:`"RD"`
- **解析**:右移→(1,0),下移→(1,-1)
- **编号**:8(层数n=1,基础编号1,位置索引7)
- **输入**:`"RRU"`
- **解析**:右移→(1,0),右移→(2,0),上移→(2,1)
- **编号**:11(层数n=2,基础编号9,位置索引2)
此方法高效处理任意长度的移动指令序列,时间复杂度为O(n),其中n为指令长度,空间复杂度为O(1)。
### 相关问题
1. 如何处理螺旋网格中坐标的负值情况?
2. 如果网格编号规则改为逆时针螺旋,算法应如何调整?
3. 如何优化算法以处理极大指令长度(如10^6)?
4. 螺旋网格编号算法在路径规划中有哪些应用场景?[^1]
5. 如何扩展算法以支持三维螺旋网格的编号计算?[^3]
[^1]: 引用自CppAD库在优化问题中的应用
[^3]: 引用自移动机器人运动规划的C++实现