3930: [CQOI2015]选数

最新推荐文章于 2019-11-14 21:27:53 发布

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我们知道，从区间[L,H]（L和H为整数）中选取N个整数，总共有(H-L+1)^N种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律，他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数，以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了，于是向你寻求帮助。你的任务很简单，小z会告诉你一个整数K，你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大，你只需要输出其除以1000000007的余数即可。

题解：

递推。

f[i]表示gcd为i*k的方案数，

令L=l/k,R=r/k，那么就变成了求[L,R]gcd为1的方案数。

f[i]就等于(R-L+1)^N-(R-L+1),因为有一种方案是（L,L,L,L.....）

然后再减去f[i*2]....

容斥原理。。。。。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define mod 1000000007 
#define ll long long
#define N 100051
ll n,k,l,r,a,b;
ll f[N];
ll cal(ll x, ll k) {  
    ll ans = 1;  
    while(k) {  
        if(k & 1) ans = 1LL * ans * x % mod;  
        x = 1LL * x * x % mod;  
        k >>= 1;  
    }  
    return ans;  
}  
int main()
{
	scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&a,&b);
	l=a/k;r=b/k;
	if(a%k)l++;
	for(ll i=b-a;i>=1;i--)
	{
		ll L=l/i,R=r/i;
		if(l%i) L++;
		f[i]=(cal(R-L+1,n)%mod-(R-L+1))%mod;
		for(ll j=i*2;j<=b-a;j+=i)
		f[i]=(f[i]-f[j]+mod)%mod;
	}
	if(l==1) f[1]++;
	printf("%lld",f[1]%mod);
}