c /c++ 树状数组 入门

  树状数组是十分的优雅的结构，用于解决区间求和，单点修改，树状数组和线段树很相似 ，线段树的使用范围更广，树状数组虽然可用的范围比线段树小但是它的效率比线段树高 

 下面就是树状数组的基本图形，首先要说明的是树状数组是个一维的数组 ，树状数组的下标是从1开始的 而不是从0开始的，我们只是利用了它的下标值的特点，来进行区间的求和，单点修改。 

  1 红色标注的是现在 树状数组的下标

  2   每个红色标注的上方的方格内代表着树状数组能表示原来的数组（ 就是要求和，修改单点的数组 ）

比如 红色下标 2 上方的 （1，2） 表示了他代表的是原来数组从 a[1] 一直到a[2]的和 （假设原来的数组为 a[8])

再比如 红色下标3 上方的 （3） ， 就表示他代表的是原来数组 a[3]  （只有一个就不用再说求和了。。。）

看下面这个表格  ，要注意的是 树状数组巧妙地利用了 二进制数的特点 。

  这个图和上边的 图是相互对应的 ，观察到一下的特点

    1 . 节点下标和第四列的 最后一个元素是一样的 （就是树状数组的一个节点 所表示的范围的最后一个元素）。

    2. 节点对应的元素个数是 节点下标的二进制中从右到左的0的个数 的二次方，也就是从右到左有k个0，那么能表示的

个数就是2^k , 比如1的二进制 k =0,所以它能表示的个数是2^0 (就是1个).  再比如6的二进制 0110 , k  = 1所以它能表示的个数就是 2个。

   3 . 每个节点所能表示的原来数组（ 就是要求和，修改单点的数组 ）的下标都是连续的。

 一 . 在了解树状数组的这些特性之后我们来看一下 树状数组很重要的 lowbit（) 这个函数

 int lowbit(int x){

    return x&(-x);  

}

下面这个证明说的很详细

首先明白一个概念，计算机中-i=（i的取反+1），也就是i的补码