求n!末尾有多少个0

输入一个正整数n,求n!(n的阶乘)末尾有多少个0 ?比如:n=10, n!= 3628800,所以答案为2。

输入为一行,n(1<=n<=1000),输出为一个整数,即题目所求。

Java代码如下:

import java.util.Scanner;

public class Main {

	public static void main(String[] args) {

		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int in = sc.nextInt();
		solution(in);
	}

	public static void solution(int num) {
		int result = 0;
		for (int i = 1, j; i <= num; i++) {
			j = i;
			while (j % 5 == 0) {
				result++;
				j /= 5;
			}
		}
		System.out.println(result);

	}
}



<think>我们使用数学原理:阶乘末尾的零的个数由质因数分解中因子5的个数决定(因为2的个数总是多于5的个数)。 公式:count = n/5 + n/25 + n/125 + ... 直到n除以5的k次方为0。 对于1000000,我们只需要循环计算直到5的幂次超过1000000。 注意:直接计算阶乘再数零是不可行的,因为1000000!是一个非常大的数,无法用常规数据类型存储。 参考引用[2]中的思路:统计因子5的个数。 我们使用循环,每次将n除以5的幂,并将结果累加,直到当前5的幂大于n。 具体步骤: 1. 初始化计数器count为0。 2. 初始化除数div为5。 3. 当n除以div的商不为0时: count += n / div; div *= 5; 4. 返回count。 注意:div可能会溢出,但1000000的阶乘中,5的幂次最大为5^8=390625(因为5^9=1953125>1000000),所以循环8次,不会溢出。 因此,C语言代码实现如下:</think>要高效计算1000000!末尾零的数量,关键在于统计质因数分解中因子5的个数(因为因子2的数量总是多于因子5)。以下是优化后的C语言实现: ```c #include <stdio.h> // 计算n!中因子5的个数(高效算法) long long count_trailing_zeros(long long n) { long long count = 0; // 通过公式计算:Σ floor(n/5^k) for (long long i = 5; i <= n; i *= 5) { count += n / i; // 累加每个5的幂次贡献的因子5数量 } return count; } int main() { const long long n = 1000000; long long zeros = count_trailing_zeros(n); printf("%lld!末尾有 %lld 个零\n", n, zeros); return 0; } ``` ### 算法解析 1. **数学原理**:末尾零的数量由因子5的个数决定(因为$2\times5=10$产生一个零)[^2] 2. **高效公式**:使用$\sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{5^k} \right\rfloor$计算 - 对于$n=1000000$: - $\left\lfloor \frac{1000000}{5} \right\rfloor = 200000$ - $\left\lfloor \frac{1000000}{25} \right\rfloor = 40000$ - $\left\lfloor \frac{1000000}{125} \right\rfloor = 8000$ - ...(依此类推至$5^8=390625$) 3. **时间复杂度**:$O(\log_5 n)$,仅需8次循环完成计算 4. **输出结果**: ``` 1000000!末尾有 249998 个零 ``` ### 避免的常见错误 1. **不直接计算阶乘**:1000000!约$5.56\times10^{5565708}$位,无法用常规类型存储[^2] 2. **避免低效遍历**:引用[2]中的遍历法复杂度$O(n\log n)$,对$n=10^6$需约$10^7$次操作 3. **使用`long long`防溢出**:结果可能很大($10^6!$约25万零) ### 算法优化说明 ```mermaid graph LR A[开始] --> B[初始化 count=0] B --> C[i=5] C --> D{i <= n?} D -->|是| E[count += n/i] E --> F[i *= 5] F --> D D -->|否| G[返回count] G --> H[结束] ``` > ⚠️ 注意:直接计算阶乘会导致**内存溢出**(如引用[2]所示),而高效算法仅需**8次除法操作**[^2]。
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