CF403B/CF402D

解决复杂数组操作与质数条件下的最大段和问题

最新推荐文章于 2024-09-23 16:07:07 发布

原创最新推荐文章于 2024-09-23 16:07:07 发布 · 839 阅读

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本文探讨了一道涉及数组操作、质数筛选与最大段和计算的难题。通过理解f函数的含义，作者揭示了如何利用前缀和与最大公约数（gcd）来优化解决方案。此外，文章还提到了动态规划的潜在方法，并展示了一个高效的实现策略，包括对f函数的巧妙处理和前缀gcd的记录。最终提供了详细的源代码解析。

http://codeforces.com/contest/403/problem/B

原题题意说

给你一个n长度的数组 a ，保存了a1~an的n个数字。

再给你m个坏的质数b1~bm。

告诉你可以每次操作数组a中前r个元素，1<=r<=n，使得a[i] = a[i]/g，g是前r个元素的最大公约数。

问你经过任意次操作后，segma(f(ai))的最大值为多少。

我一开始对于f函数的意思不太懂，后来把他展开，就明白了。

当s=1，f=0；

当p是s的最小的约数（同时必然是质数）时，f=f(s/p)+g(p)

g函数是我临时加的，发现p为good时，g(p)= 1；p为bad时，g(p)= -1；

s=p时，f=f(1)+g(p)=0+g(p)，所以g就是f

那么得到 f 就是 s 中good数减去bad数。

发现好像可以搞了，只要前缀和一个数组 a 的 gcd 。

思路是贪心

从 n 开始向 1 扫，如果 i 的前缀和的gcd 的 f 小于 0，就把从1 到 i 的 gcd 通过变换消去，那么就可以使得整个数组的segma增加 f(gcd)，同时记录一下我变换消去的 gcd 的值，在下一次检查的时候要先用当前的gcd除以之前保存的这个记录下来的 gcd ，然后在判断是否 f 小于 0，也就是存在 good 数小于 bad数的这种情况。

好像还有一种动态规划的方法，http://codeforces.com/blog/entry/10972 ，俄文看不懂，然后有兴趣的同学用谷歌翻译翻译成英文阅读，千万别翻译成中文阅读，那样是完全看不懂的。

我做的时候，看到 gcd 可以不保存直接用 gcd 的f 的效果是一样的，只要记录先前的gcd 的 f 在当前位置总共增加的值 cur ，在这一轮不要再重复增加到答案里面，然后 f 最后用map做一个映射，以加快速度， bad prime 就用set表示就好了。

其中最巧妙的就是处理f 的时候，一边分解s 的质因子一边计数这个过程。以及前面说了记录前缀 gcd 的 f 的值，和 cur。

上源代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <set>
using namespace std;
#define MaxN 5555
const int maxn = 1000000;
bool flag[maxn+5];
int prime[maxn/3], TopPrime;
int a[MaxN], bad[MaxN], gtf[MaxN];
set <int> badSet;
map <int, int> memo;

void calc_prim(){
	for(int i = 2; i <= maxn; i ++){
		if(!flag[i]) prime[TopPrime++] = i;
		for(int j = 0; j < TopPrime && prime[j]*i <= maxn; j ++){
			flag[i*prime[j]] = 1;
			if(i%prime[j]==0) break;
		}
	}
}

int F(int s)
{
    if(s == 1) return 0;
    if(memo.find(s) != memo.end()) return memo[s];
    int k = 0, ans = 0;
    int num = s;
    while(prime[k]*prime[k] <= s)
    {
        if(s % prime[k] == 0)
        {
            int isbad = badSet.count(prime[k]);
            while(s%prime[k] == 0)
            {
                s/=prime[k];
                if(isbad)
                    ans--;
                else
                    ans++;
            }
        }
        k++;
    }
    if(s != 1)
    {
        if(badSet.count(s)) ans--;
        else ans++;
    }
    return memo[num] = ans;
}

int main()
{
//    freopen("data.in", "r", stdin);
    calc_prim();
    int n, m, G, cur, sum;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    for(int i = 0; i < m; i++)
    {
        scanf("%d", &bad[i]);
        badSet.insert(bad[i]);
    }
    G = a[0];
    sum = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        int number = a[i];
        sum += F(number);
        G = __gcd(number, G);
        gtf[i] = F(G);
    }

    cur = 0;//the F() of gcd been cut before
    for(int i = n-1; i >= 0; i--)
    {
        if(gtf[i] + cur < 0)//!!!
        {
            sum -= (gtf[i] + cur)*(i+1);//!!!
            cur += (gtf[i] + cur)/(-1);
        }
    }
    printf("%d\n", sum);
    return 0;
}