Leetcode题解 940.不同的子序列II 动态规划

题目描述：

给定一个字符串 s，计算 s 的 不同非空子序列 的个数。因为结果可能很大，所以返回答案需要对 10^9 + 7 取余 。

字符串的 子序列 是经由原字符串删除一些（也可能不删除）字符但不改变剩余字符相对位置的一个新字符串。

• 例如，"ace" 是 "abcde" 的一个子序列，但 "aec" 不是。

示例 1：

输入：s = "abc"
输出：7
解释：7 个不同的子序列分别是 "a", "b", "c", "ab", "ac", "bc", 以及 "abc"。

示例 2：

输入：s = "aba"
输出：6
解释：6 个不同的子序列分别是 "a", "b", "ab", "ba", "aa" 以及 "aba"。

示例 3：

输入：s = "aaa"
输出：3
解释：3 个不同的子序列分别是 "a", "aa" 以及 "aaa"。

提示：

• 1 <= s.length <= 2000
• s 仅由小写英文字母组成

思路：

要计算字符串 s 的不同非空子序列的个数，我们可以采用动态规划的思路。基本思想是：

1. 使用一个数组 dp，其中 dp[i] 表示前 i 个字符的不同非空子序列的个数。
2. 对于每一个字符 s[i]，我们可以基于之前的所有子序列构造出新的子序列。因此，dp[i] 等于 dp[i-1] 的两倍减去因重复导致的重复子序列数。
3. 为了处理重复子序列，我们需要跟踪每个字符上次出现的位置。我们可以使用一个字典 last_occurrence 来记录字符最后出现的位置。

下面是具体的 Python 实现代码：

class Solution:
    def distinctSubseqII(self, s: str) -> int:
        
        MOD = 10**9 + 7
        n = len(s)
        
        # dp[i] 表示前 i 个字符的不同非空子序列的个数
        dp = [0] * (n + 1)
        
        # 用于记录每个字符最后一次出现的位置
        last_occurrence = {}
        
        # 初始状态
        dp[0] = 1  # 空序列
        
        for i in range(1, n + 1):
            dp[i] = (2 * dp[i - 1]) % MOD  # 当前字符s[i-1]可以在之前的所有子序列基础上构造新的子序列
            
            char = s[i - 1]
            if char in last_occurrence:
                # 减去由于重复出现而造成的重复子序列
                dp[i] = (dp[i] - dp[last_occurrence[char] - 1]) % MOD
            
            # 更新字符的最后出现位置
            last_occurrence[char] = i
        
        # 减去空序列
        return (dp[n] - 1) % MOD

'''
#示例
s = "abc"
print(distinct_subsequences(s))
'''

 代码解析：

• dp[i] 表示前 i 个字符的不同非空子序列的个数。
• last_occurrence 记录每个字符上次出现的位置。
• 对于每个字符，我们将 dp[i] 更新为前一状态的两倍，表示在现有子序列的基础上增加新子序列。
• 如果该字符在之前出现过，减去因为重复出现而多计算的子序列数。
• 最后返回 dp[n] - 1，减去空序列，并对结果取模。