计算机中减法的实现原理

这本来就是大一的时候就开始学习的，但是之后一直没再接触。一接触但有概念而没有一个清晰的过程，所以再次缕清了后记录一下博客。本文重点阐明了计算机中减法运算的实现以及反码、补码的意义。
对于加法来说，计算机很容易实现，

举例：8 + 6 = 14；
在计算机中，也就是
0000 1000
0000 0110
.------------------------
0000 1110

0000 1110表示的则就是14. 没毛病

那么减法呢？

举例： 8 - 6 = 2；
在计算机怎么实现？
首先int型在当前的计算机中大多数是占了32位，这里我们为了简便，就当作8位来处理（注意最高位是符号位，也就是8位的数据表示范围是：-128~127）

在计算机的逻辑运算单元中，只有加法运算器，用来对两个数进行相加，并没有减法器的电路。因为对于减法运算，计算机也是用加法器来实现的，比如8 - 6，也可以表示成 8 +(-6)，这样就变成了加法运算，问题变成了怎么让计算机表示出负数，有的朋友可能想：6是0000 0110，变成负数后不就是1000 0110了么，这的确没错。但是这样的表示并不能被加法器所支持，加法器是不知道负数的，尽管我们把最高一位定义成了符号位。
8的二进制是 0000 1000
-6的二进制是1000 0110
0000 1000
1000 0110
.--------------
1000 1110

而1000 1110表示的是-14，这显然不是我们要的结果。

那么换一个思路，我们知道，现在我们举例的是8位数，最高的表示是127.

举个时钟的例子。数字时钟上最大值是24点，这里的24点就是模。当到24点的时候，被取模后成为了0点。而减去1点和加上23点的效果都是一样的，无非就是补数和取模。24+23了后取模也是23，都是表示23点。

所以8 - 6就跟 8 + （128 - 6）是一样的。（这里的128是模）

于是乎，减法是可以被当作加法来运算的。

所以计算机便有了反码的概念。正数的反码是自身，负数的反码则是除了符号位之后其他都取反（就相当于自己去加上摸之后取模后的结果）。

但是反码后有一个问题，就是关于“0”的表示，那就是1000 0000和0000 0000都表示0，分别表示 +0 和 -0，而数学意义上并没有正负之分。所以必须消除其中一个

于是有了补码的概念。正数的补码还是原码，负数的补码是原码在得到反码后再+1，

让0只有在0000 0000的时候才表示0。
而1000 0000表示 -128，（注意，-128是通过反码后的-0再加1得到的，-128是没有反码的。PS：正因如此，所以上文才说8位的数据表示范围是：-128~127，而不是从-127开始）

于是乎 上面的 8 - 6 = 8+(-6)的问题

8的原码、反码、补码都是原码：0000 1000
而-6的原码是 1000 0110
反码则是除符号位外，其余位取反：1111 1001
补码则是反码+1，即： 1111 1010
于是两个补码相加：
0000 1000
1111 1010
.---------------------
0000 0010

0000 0010则是2， 正是 8 - 6的结果。

到这里已经说明了减法的实现，其实也就是利用反码和补码的机制，以转换成加法运算。

而这还没完呢，我们再来看一个例子：
6 - 8 = -2

这还不简单？ 6 - 8就等于6 + (-8)嘛，于是：
6的原码、反码、补码都是原码：0000 0110
而-8的原码是 1000 1000
反码则是除符号位外，其余位取反：1111 0111
补码则是反码+1，即： 1111 1000
于是两个补码相加：
0000 0110
1111 1000
.---------------------
1111 1110

天哪，1111 1110的十进制数是-126啊，6 - 8怎么可能等于-126呢。

显然，我们这个减法当作加法来运算貌似不是特别靠谱。只要当被减数的绝对值小于减数的绝对值的时候，计算出来的结果总是不对。

当然了 不对是正常的，因为我们是用补码来计算，计算的结果也不是原码。这里因为符号位也参与了计算，所以最高一位并不是表示符号位了，1111 1110则是254了。想想？254 - 256 = -2，刚好是6 - 8的结果。这绝对不是偶然。

我们把1111 1110求一次补码，先取得其反码是： 1000 0001
则其补码则是：1000 0010

天呐，1000 0010则就是-2，太神奇了。

所以计算机的减法运算中，运算的结果是需要再求一次补码的

在前一个例子8 - 6的2，是因为2是正数，反码、补码与原码都一样

最后总结一下：
概念：
原码：带符号位的，我们表示的数值
反码：正数的反码是原码，负数的反码是除了符号位之外其余位取反
补码：正数的补码是原码，负数的补码是反码+1

减法运算：
通过反码的方式来将减法转换成加法运算，通过补码的方式消除了+0和-0的歧义。而在减法的运算结果中，还需要对结果进行补码。

作者：lc_miao的博客
来源：优快云
原文：https://blog.youkuaiyun.com/lc_miao/article/details/84929497
版权声明：本文为博主原创文章，转载请附上博文链接！