海量数量处理之位图

编程珠玑第二章开始提出了三个问题，其中第一个问题是这样的：一个顺序文件至多包括40亿个32位的整数，这些数是无序的，找出一个不在该文件中的32位整数。（可能有数字是不在该文件中的，因为2^32总共包括了42+亿个数，因此肯定有整数是不在该文件中的，这是鸽巢原理吧？）

据说这是腾讯的一道面试题，大概描述如下：

问题描述：

问题的描述大概就是这样了。

刚看到这个题目就想到了bitmap，很适合使用，下面简单说明下。

1、bitmap方法

如果问题对于内存没有要求，可以采用bitmap的方法。对这40亿个数进行bitmap，如果某个数在文件中，那么将其bitmap设置为1，如果不在则设为0；这样操作后在遍历文件对应的bitmap，遇到某一位为0，则说明这个数是不在文件中的，输出就可以了。

这样的情况下总共需要至多：40亿/(8*1024*1024)M，这个大约是500m。如果内存空间够的话就可以采用这种方法。但如果内存有严格限制，这种方法就不可取了。

2、二分法

这里利用了二分的巧妙思想：因为二进制中每一位要么是0要么是1，因此可以根据数据的某一位来分，该位为1的在分配在一组，该位为0的分配在另一组。这里的二分法就是采用了这种思想。

对这40亿数来说，进行如下操作：从最高位到最低位（反过来也可以）按照上面的思想进行分组，例如对于最高位为1的分在一组，最高位为0的分在另一组，这样40亿数据就被分配成了两组了，下面考察这两组数据。

经过上次划分后两组数据可能有下面的情况：

a、两组数据包含的数是相等的，即都是20亿。

b、两组数据包含的数是不等的，一个大一个小。

对于a来说，因为两组数有相同的个数，那么我们可以判断这两组数中都缺少了全体数（2^32个）中的某一个或者多个数。

对于b来说，我们可以肯定是小的那部分数据肯定缺少了某一个或者多个数，而多的那一部分是不确定的，当然也可以判断出来。（通过跟2^32/2=2^31比较）

对于情况a来说，我们可以任选一组数继续进行二分操作；对于情况b来说，我们选择数据量小的那部分数据继续进行二分操作，这样不断的进行下去，就可以找到某个不在40亿数中的数了。

这里很巧妙的利用了二分法，而且与平常使用的不太相同。这里是根据一个数的某一位来将数据分配到不同的组中。

上面就是这个问题的大概思路：用位图法很直接，但占用内存量会大点；利用二分法比较巧妙，不太容易想到。

 

编程珠玑课后提出了另外一个问题：

找出43亿32位整数中至少重复两次的数？首先肯定是有数是重复的，因为2^32总共的数据是42亿多，不到43亿，根据鸽巢原理，肯定是有重复的。如何操作？

当然，有了前面的介绍很容易想到继续采用二分法，思路完全一样。

其实当内存空间没有要求的话，用位图法也是可以的，因为题目只是要找到一个至少重复两次的数就ok了，这样使用位图在遍历数据的时候发现重复的话就可以结束了，时间复杂度是线性的，当然空间复杂度是大点。

 

在网上又看到了这样一个问题：

给定一个包含40亿个随机排列的整数的顺序文件，找出一个出现至少两次的32位整数。这个问题的难道比上面的应该都高。

这里首先想到bitmap，是可以操作的。

还有其他更高效的算法了吗？应该有吧。hash？其实感觉bitmap就是hash的一个特例，bitmap是将数据hash到了位置上。

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上面是关于编程珠玑第二章的问题A和课后类似题目的解答，其实这里面最重要的思想还是bitmap，而且bitmap的应用十分的广泛，简单总结下：

1、bitmap可以用于海量数据的排序

这种情况可能有一些要求，比如数据尽量不重复。如果数据不重复的话，而且空间没有要求，那么bitmap是很高效的。当然如果数据有重复，但能知道重复至多不超过多少，也是可以的。例如数据至多重复10次，那么可以用4位来表示一个数据，这样还是比4个字节（一般整数是4个字节）的空间减少了很多。

2、bitmap用于查找缺少的数据、重复的数据

这个问题在上面的描述中都有体现了，40亿数据中不包含那个32位的整数；43亿数据中哪个数是至少重复两次的？

3、其他应用

后面找找看，再补充

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从上面以及前面的分析可以知道，bitmap是很赞的一种思想，也是很值得应用和掌握的。当然它也有一些限制条件。例如，当内存使用有限制，而且数据量比较大的时候，bitmap可能也是不行的，这样的情况下就可以考虑上面的二分法了。