一篇文章带你搞定RSA算法

RSA（Rivest-Shamir-Adleman）公开密钥密码系统是一种非对称加密算法，它使用两个密钥：一个公钥用于加密，一个私钥用于解密。RSA算法的安全性基于大素数分解的困难性，即给定一个大合数，要找到它的所有质因数是非常困难的问题。

RSA算法的运作过程如下：

1. 选择两个不相等的大素数p和q。
2. 计算它们的乘积n=p*q，n被称为模数。
3. 计算欧拉函数φ(n)=(p-1)(q-1)。
4. 选择一个整数e，使得1<e<φ(n)，且e与φ(n)互质。
5. 计算e关于φ(n)的模反元素d，即d ≡ e^(-1) (mod φ(n))。
6. 公钥是(n, e)，私钥是(d, n)。

在RSA中，加密时使用公钥(n, e)对明文m进行加密得到密文c，计算公式为：c ≡ m^e (mod n)。 解密时使用私钥(d, n)对密文c进行解密得到明文m，计算公式为：m ≡ c^d (mod n)

注：1.两个整数a和b被称为互质（或互素），如果它们的最大公因数（最大公约数）为1

2.

"≡" 是数学符号中的一个等价关系符号，表示两个数或表达式在模运算下等价。具体来说，对于整数a、b和模数m，如果它们满足以下条件： a ≡ b (mod m) 那么这意味着a和b在模m下具有相同的余数。

例如，如果我们有a = 8、b = 18和m = 5，我们可以表示为： 8 ≡ 18 (mod 5) 因为8和18在模5下都有相同的余数3。

在RSA算法中，我们使用模幂运算来进行加密和解密操作。所以，当我们说c ≡ m^e (mod n)，意味着密文c与明文m经过指数e的幂运算后，在模n下具有相同的余数

既然懂了，那就刷几道题练练手吧

以下是几道与RSA密钥相关的题目，帮助你理解RSA算法：

1. 已知两个质数p=11, q=13，请计算n和φ(n)的值。
2. 在RSA算法中，如果选择e=7，那么对应的私钥d是多少？（已知φ(n)=120）
3. 给定n=77, e=7，加密明文m=20，求密文c的值。
4. 给定n=187, d=23，解密密文c=128，求出原始的明文m。

解答：

1. 计算n的值： n = p * q = 11 * 13 = 143   计算φ(n)的值： φ(n) = (p - 1) * (q - 1) = 10 * 12 = 120

     2. 在RSA算法中，当选择e=7时，我们需要计算对应的私钥d的值。

计算私钥d的值： 根据公式 d ≡ e^(-1) (mod φ(n))，即 d ≡ 7^(-1) (mod 120)，

需要找到一个整数d，满足 (7 * d) % 120 = 1。

解方程 (7 * d) % 120 = 1，得到d = 103。

所以，当e=7时，对应的私钥d为103。

  3.给定n=77, e=7，加密明文m=20，我们可以计算出密文c的值。

1. 加密明文m得到密文c： c ≡ m^e (mod n) c ≡ 20^7 (mod 77) 使用模幂运算法计算：c ≡ 12800 (mod 77) 所以，加密后的密文c为12800。

4. 给定n=187, d=23，解密密文c=128，我们可以计算出原始的明文m的值。

1. 解密密文c得到原始明文m： m ≡ c^d (mod n) m ≡ 128^23 (mod 187) 使用模幂运算法计算：m ≡ 20 (mod 187) 所以，解密后的原始明文m为20。