数字三角形模型练习

摘花生

题目链接：摘花生
分析：很简单的一题，基本和数字三角形模型一样,一行一行dp就行了。
代码实现：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=110;
int T,g[N][N],n,m,dp[N][N];
int main(){
    cin>>T;
    while(T--){
        cin>>n>>m;
        memset(dp,0,sizeof dp);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                cin>>g[i][j];
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+g[i][j];//要么从上方转移而来，要么从左边转移而来
            }
        }
        cout<<dp[n][m]<<endl;
    }
    return 0;
}

最低通行费

题目链接：最低通行费
分析：和上题基本一样，就是改成了求最小值
代码实现：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=110;
int w[N][N];
int f[N][N];
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            cin>>w[i][j];
        }
    }
    memset(f,0x3f,sizeof f);//要求最小值，把所有值初始化很大的值
    f[1][0]=f[0][1]=0;//f[1][1]要从f[1][0]和f[0][1]转换而来，因此它们俩要初始化为0，否则转移就出错了
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            f[i][j]=min(f[i-1][j],f[i][j-1])+w[i][j];
        }
    }
    cout<<f[n][n]<<endl;
    return 0;
}

方格取数

题目链接：方格取数
分析：这道题与前面的就略有区别了，第一次取过的数我们第二次不能再取，我们可能会想到先取一遍最长的，把取过的赋值为0，再取一遍最长的，但我们需要证明其正确性，但很容易举出反例证明这个是错误的，因此这里我们考虑两条路一起选，这样的话我们的状态表示就是dp[i1][j1][i2][j2]，而我们两条路是一起走的，因此i1+j1=i2+j2，我们用k表示i1+j1，则状态可压缩到三维dp[k][i1][i2]，仿照上面的问题，我们很容易就能列出状态转移方程，具体见代码。
代码实现：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=15,M=2*N;
int n,m,a,b,c,w[N][N],dp[M][N][N];//dp[k][i1][i2]表示两人的横纵坐标之和都为k，第一个人的横坐标为i1，第二个人的横坐标为i2时的最大值
int main(){
    cin>>n;
    m=2*n;
    while(cin>>a>>b>>c,a|b|c){
        w[a][b]+=c;
    }
    for(int k=2;k<=m;k++){//枚举点的横纵坐标之和，因为本题中坐标都是从1开始的，因此横纵坐标之和最小为2
        for(int i1=1;i1<k;i1++){//枚举i1
            int j1=k-i1;///求出j1
            for(int i2=1;i2<k;i2++){//枚举i2
                int j2=k-i2;//求出j2
                int tmp=w[i1][j1];//tmp记录两条路取走的数之和
                if(i1!=i2) tmp+=w[i2][j2];//如果不是同一点，再加
                int &x=dp[k][i1][i2];//为了下面方便写
                x=max(x,dp[k-1][i1-1][i2-1]+tmp);//两个点都是从上方来的
                x=max(x,dp[k-1][i1-1][i2]+tmp);//第一个点从上方来，第二个点从左方来
                x=max(x,dp[k-1][i1][i2-1]+tmp);//第一个点从左方来，第二个点从上方来
                x=max(x,dp[k-1][i1][i2]+tmp);//两个点都从左方来
            }
        }
    }
    cout<<dp[m][n][n]<<endl;//横纵坐标之和为m，两个点的横坐标都为n的地方即是答案
    return 0;
}

传纸条

题目链接：传纸条
分析：和上题一毛一样！传过去再传回来和从起点出发找两条路是一样的，对于题目里说的每个人只会帮一次，可以发现：只要我们经过同一点时就只加一遍，那么肯定有别的路的值更大，我们的答案里自然不会有经过同一点的情况。代码就和上一题一样了。
代码实现：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=55;
int s[N][N];
int n,m;
int f[N+N][N][N];
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            cin>>s[i][j];
        }
    }
    for(int k=2;k<=n+m;k++){
        for(int i1=1;i1<k;i1++){
            for(int i2=1;i2<k;i2++){
                int j1=k-i1,j2=k-i2;
                int &x=f[k][i1][i2];
                int t=s[i1][j1]+s[i2][j2];
                if(i1==i2){
                    t-=s[i1][j1];
                }
                x=max(x,f[k-1][i1-1][i2-1]+t);
                x=max(x,f[k-1][i1-1][i2]+t);
                x=max(x,f[k-1][i1][i2-1]+t);
                x=max(x,f[k-1][i1][i2]+t);
            }
        }
    }
    cout<<f[n+m][n][n]<<endl;
    return 0;
}

数字三角形模型应该还是比较简单的，只要我们能抽象出这个模型还是比较好写的。