LC 413. 等差数列划分

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如果一个数列至少有三个元素，并且任意两个相邻元素之差相同，则称该数列为等差数列。

例如，以下数列为等差数列:

1, 3, 5, 7, 9
7, 7, 7, 7
3, -1, -5, -9

以下数列不是等差数列。

1, 1, 2, 5, 7

数组 A 包含 N 个数，且索引从0开始。数组 A 的一个子数组划分为数组 (P, Q)，P 与 Q 是整数且满足 0<=P<Q<N 。

如果满足以下条件，则称子数组(P, Q)为等差数组：

元素 A[P], A[p + 1], …, A[Q - 1], A[Q] 是等差的。并且 P + 1 < Q 。

函数要返回数组 A 中所有为等差数组的子数组个数。

示例:

A = [1, 2, 3, 4]

返回: 3, A 中有三个子等差数组: [1, 2, 3], [2, 3, 4] 以及自身 [1, 2, 3, 4]。

思路1

思路分析：千万要记住，下标需要连续，比如[num, num, num+ 1]是等差数列，它们三的下标必须连续！！！

如果[1,2,3,4,5,6]是一个等差数列，则
以[1,2]打头的[1,2,3],[1,2,3,4],[1,2,3,4,5],[1,2,3,4,5,6],
以[2，3]打头的[2,3,4],[2,3,4,5],[2,3,4,5,6],
以[3，4]打头的[3,4,5],[3,4,5,6],
以[4，5]打头的[4,5,6]都是等差数列

class Solution {
public:
	int numberOfArithmeticSlices(vector<int>& A) {
		int result = 0, len = A.size();
		for (int i = 0; i < len - 2; i++) {
			//穷举[A[i],a[i + 1]作为等差数列的前两个元素
			int distance = A[i + 1] - A[i];//步长
			//确定在连续下标的情况下，以[A[i],a[i + 1]打头的等差数列个数
			for (int j = i + 2; j < len; j++) {
				if (A[j] - A[j - 1] == distance) {
					result += 1;
				}
				else {
					break;
				}
			}
		}
		return result;
	}
};

思路2：动态规划法

dp[i]记录以元素A[i]结尾的等差数列的个数。

有上面[1,2,3,4,5,6]的示例可知，(由于数列长度需要大于2，所以dp[0] = dp[1] = 0)

dp[2] = dp[1] + 1,因为A[2] - A[1] == A[1] - A[0]

dp[3] = dp[2] + 1,因为A[3] - A[2] == A[2] - A[1] （这里有些道友可能认为需要判断以A[2]结尾的步长是否等于以A[3]结尾的等差步长，其实无形之中已经进行了判断，以A[2]结尾的步长就是A[2] - A[1]（如果A[2]找到了等差数列，那么它的步长必定为A[2] - A[1]），而A[3]结尾的等差步长必定是dp[2] + 1）
…

如果[1,2,3,4,5,6]是一个等差数列，则
以A[2]结尾的等差数列 [1,2,3]
以A[3]结尾的等差数列 [1,2,3,4],[2,3,4]
以A[4]结尾的等差数列 [1,2,3,4,5],[2,3,4,5],[3,4,5]
以A[5]结尾的等差数列 [1,2,3,4,5,6],[2,3,4,5,6],[3,4,5,6],[4,5,6]

转移方程： dp[i] = dp[i - 1] + 1

   class Solution {
    
    public int numberOfArithmeticSlices(int[] A) {
        if(A.length<3)
            return 0;
        
        int res=0;
        //dp[i]存储以A[i]为结尾的子等差数组个数。
        int[] dp=new int[A.length];
        for(int i=2;i<A.length;i++){
            if(A[i]-A[i-1]==A[i-1]-A[i-2]){
                dp[i]=dp[i-1]+1;
                res+=dp[i];
            }
        }
        return res;
    }
}