【动态规划】【Dilworth定理】AOJ 0033 Ball #挑战程序设计竞赛

题目大意

有n个序列，每个序列长度都是10且每个序列中元素互不相同，简单记录为

$$x_1,x_2,...,x_{10}$$

问每个序列可不可以划分这样两个集合，其中每个集合中任意两个元素都满足

$$x_i<x_j\&\&i<j$$

对每个序列，可以按照上述条件划分，则输出YES，否则输出NO。

解

每个集合中任意两个元素都是可比的，这自然让我们想到偏序集的概念，而给定的条件正是一个构成偏序集的条件。这个题在问我们原集合可不可以划分为两个链。链是一个集合，其中任意两个元素都可比。而划分的意思是者两个链相交为空，相并为原集。

那我们如何判断这个集合可不可以划分为2个链呢？这时就要请出我们的Dilworth定理了。它是解决偏序集中链与反链极值问题的利器。反链也是一个集合，它的定义是，其中的任意两个元素都不可比。Dilworth定理的表述如下：

对偏序集(X,$\le$)，如果

• 可找到的最长链的长度为$r$，那么这个集合可以划分出$r$条反链且不能再少。
• 可找到的最长反链的长度为$l$， 那么这个集合可以划分出$l$条链且不能再少。

所以要判断原集合如果拥有一条长度大于2的反链，它就必定不能被划分为2条链。那么我们如何知道有没有长度大于2的反链呢？只需要看看它最长的那个反链。这是我的思考顺序，可能有些别扭哈。

观察反链的结构，把它们按照脚标顺序由小到大排列，为了不可比，脚标小的值就大，故我们要求的东西就很清楚了，就是原序列的最长下降子序列。注意读题时要认真，要抓住序列中两两不同的特点观察集合的特征。

求最长下降子序列就没什么好说的了，动态规划求就好了。不再赘述。

另外，在《挑战程序设计竞赛》中，这道题应该是用深搜做的，因为只有10个数，剪剪枝就差不多了。

源码如下：

//Dilworth 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n, max_len;
int num[11], dp[11];

int main(){
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    scanf("%d", &n);
    while(n--){
        for(int i=0; i<10; i++){
            scanf("%d", &num[i]);
        }
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        max_len = 1;
        dp[0] = 1;
        
        for(int i=1; i<10; i++){
            for(int j=0; j<i; j++){
                if(num[i] < num[j])
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
            max_len = max(max_len, dp[i]);
        }

        if(max_len > 2)
            printf("NO\n");
        else 
            printf("YES\n");
    }
    return 0;
}