高精度_加减乘除（理论+模板+例题）

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🌼理论结合题目

截图来源于B站麦克老实讲算法

🏆1088: 大整数加法

P1088 - 大整数加法 - New Online Judge (ecustacm.cn)

看注释

AC 代码

#include<iostream>
using namespace std;
int a[1010], b[1010], c[1010];

int main()
{
    string s1, s2;
    cin>>s1>>s2; //作为字符串输入
    int len1 = s1.length(), len2 = s2.length();
    //转整型存入数组
    for(int i = 0; i < len1; ++i)
        a[i] = s1[len1 - i - 1] - '0'; //从小开始存
    for(int i = 0; i < len2; ++i)
        b[i] = s2[len2 - i - 1] - '0';
    //得到较大数的长度
    int len = max(len1, len2);
    //按位相加
    for(int i = 0; i < len; ++i) {
        c[i] += a[i] + b[i]; //注意 +=
        c[i + 1] += c[i] / 10;
        c[i] %= 10;
    }
    //输出
    if(c[len] != 0) len++; //相加后长度增加
    for(int i = len - 1; i >= 0; --i)
        cout<<c[i];

    return 0;
}

3297419374129481729874319287439812312957616548765481364587168576184658164582734
53827459827439875238745987544873875948729347592473592347592374598273945723
3297473201589309169749558033427357186833565278113073838179516168559256438528457

🏆1089: 大整数减法

P1089 - 大整数减法 - New Online Judge (ecustacm.cn)

第一次敲，AC 90%，有个很坑的地方，一开始以为是String类字符串的比较出问题了

就是2 > 100，因为它会按顺序比较，2 > 1所以 2 > 100，只需加个len的比较就行

我的问题是，当100 - 100会没有输出，最后补充个相等时，输出的0就行

AC 代码

#include<iostream>
using namespace std;
int a[1010], b[1010], c[1010];

void read(int a[], string s)
{
    int len = s.length();
    for(int i = 0; i < len; ++i)
        a[i] = s[len - i - 1] - '0'; //从低位读入
}

int main()
{
    string s1, s2;
    int len1, len2;
    cin>>s1>>s2; //作为字符串输入
    len1 = s1.length(), len2 = s2.length();
    if(len1 < len2 || (s1 < s2 && len1 == len2)) {//小的 - 大的
        cout<<"-"; //提前输出个负号
        len1 = s2.length(), len2 = s1.length();
        //读入数组
        read(a, s2); //大的读入a[]
        read(b, s1); //小的读入b[]
    }
    else {
        //读入数组
        read(a, s1); //大的读入a[]
        read(b, s2); //小的读入b[]
    }
    //执行上述操作后, a[]的数更大, len1更大
    //按位相减
    for(int i = 0; i < len1; ++i) {
        c[i] += a[i] - b[i]; //注意+=
        if(c[i] < 0) { //借位
            c[i + 1] -= 1;
            c[i] += 10;
        }
    }
    //排除前导0
    int k;
    for(k = len1 - 1; k >= 0; --k)
        if(c[k] != 0) break;
    //输出
    for(int i = k; i >= 0; --i)
        cout<<c[i];
    //补充一个很坑的点
    if(len1 == len2 && s1 == s2)
        cout<<0;
    return 0;
}

几组输出

🏆1090: 大整数乘法

P1090 - 大整数乘法 - New Online Judge (ecustacm.cn)

上面乘法规律的图中，是c[i + j - 1] += a[i] * b[j];

此时下标0开始会越界，出现-1，所以下标从1开始输入数组

，此时c[1 + 1 - 1] += a[1] * b[1]，就不受影响

下标从1开始后，相应的s1, s2, a[], b[], c[]的下标也要全部改变

AC 代码

第一次敲完，又是90%，跟减法一样的错误，漏了为0的情况

#include<iostream>
using namespace std;
int a[1010], b[1010], c[2010]; //2010防止溢出

int main()
{
    string s1, s2;
    cin>>s1>>s2;
    int n = s1.length(), m = s2.length(); //字符串长度
    //读入数组
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        a[i] = s1[n - i] - '0'; //最低位读入数组前面
    for(int i = 1; i <= m; ++i)
        b[i] = s2[m - i] - '0';
    //按位相乘
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = 1; j <= m; ++j) {
            c[i + j - 1] += a[i] * b[j];
            //每次乘完后进位
            c[i + j] += c[i + j - 1] / 10;
            c[i + j - 1] %= 10;
        }
    //排除前导0
    int k;
    for(k = n + m + 1; k >= 1; --k)
        if(c[k] != 0) break;
    //逆序, 大到小输出
    for(int i = k; i >= 1; --i)
        cout<<c[i];
    //补充存在一个是0的情况
    if((n == 1 && s1[0] == '0') || (m == 1 && s2[0] == '0'))
        cout<<0;
    return 0;
}

几个测试

123809128390 0
0

19 6
114

381247923749174398123947128347912374918237 932894898437192874398127394871
355664243105376703364270700582783731140893607514391377000718338438162427

🏆1091: 大整数除法（一）

P1091 - 大整数除法（一） - New Online Judge (ecustacm.cn)

第一类高精度除法：高精 / 低精

注意判断被除数 < 除数的情况

敲代码时，可在草稿纸写出竖式，逐步比对，除数b，余数x，c[]数组的关系

比如4567 / 123👇

第一次AC 40%...还是加了被除 < 除数的判断

于是我去洛谷找了个类似的题

🏆P1480 A/B Problem

P1480 A/B Problem - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

当输入下列数据没有输出9 0

for(int i = 0; i < n; ++i) { //c[]位数和高精度数组a[]一样
    c[i] = (x * 10 + a[i]) / b; //商
    x = (x * 10 + a[i]) % b; //余数
}

分析

当 i == 0, x = 9 * 10^0, c[0] = 0 ...

当 i == 8, x = 9 * 10^8, c[8] = 0

当 i == 9, x = 9 * 10^9已经越界，改为long long洛谷就能过，然后New Oj也过了（无语。。。

原来只是个long long的BUG，找了半小时）

long long b, x = 0; //b为除数, x为余数

洛谷AC 代码

#include<iostream>
using namespace std;
int a[5010], c[5010]; //c[]为答案数组

int main()
{
    string s;
    //注意开long long!!!
    long long b, x = 0; //b为除数, x为余数
    cin>>s>>b;
    int n = s.length(); //字符串长度
    //读入数组
    for(int i = 0; i < n; ++i)
        a[i] = s[i] - '0'; //最高位读入数组前面
    //逐位试商法
    for(int i = 0; i < n; ++i) { //c[]位数和高精度数组a[]一样
        c[i] = (x * 10 + a[i]) / b; //商
        x = (x * 10 + a[i]) % b; //余数
    }
    //去除前导0
    int k;
    for(k = 0; k < n; ++k)
        if(c[k] != 0) break;
    //输出
    for(int i = k; i < n; ++i)
        cout<<c[i]; //商
    //被除数 < 除数的补充
    if(k == n && !c[k - 1])
        cout<<0; //商为0
    //cout<<endl<<x; //余数

    return 0;
}

AC 代码

#include<iostream>
using namespace std;
int a[5010], c[5010]; //c[]为答案数组

int main()
{
    string s;
    //注意开long long!!!否则最后x会越界
    long long b, x = 0; //b为除数, x为余数
    cin>>s>>b;
    int n = s.length(); //字符串长度
    //读入数组
    for(int i = 0; i < n; ++i)
        a[i] = s[i] - '0'; //最高位读入数组前面
    //逐位试商法
    for(int i = 0; i < n; ++i) { //c[]位数和高精度数组a[]一样
        c[i] = (x * 10 + a[i]) / b; //商
        x = (x * 10 + a[i]) % b; //余数
    }
    //去除前导0
    int k;
    for(k = 0; k < n; ++k)
        if(c[k] != 0) break;
    //输出
    for(int i = k; i < n; ++i)
        cout<<c[i]; //商
    //被除数 < 除数的补充
    if(k == n && !c[k - 1])
        cout<<0; //商为0
    cout<<endl<<x; //余数

    return 0;
}

🏆1092: 大整数除法（二）

P1092 - 大整数除法（二） - New Online Judge (ecustacm.cn)

减法模拟除法

需要注意的是，减法，需要高精度减法来实现

同时，由于是高精度减法，需要逆序读入数组，即低位放前面

因为代码较复杂，注意死循环的问题，比如

for(int i = len2 - 1; i >= 0; ++i) {

}

犯了习惯性的问题，有时没有输出，不妨看看是不是这个原因

同时，将每个数组的长度保存在a[0], b[0], bb[0], c[0]的位置

那么下标都从1开始

第一次写崩了，思路清晰后重敲了遍

AC 代码

注释占了13行，确实有点长，但思路很清晰

#include<iostream>
#include<cstring> //memset()
using namespace std;

int a[1010], b[1010], c[1010], tmp[1010]; //a被除, b除数, c商

void cpy(int x[], int y[], int n) //x[]左移n位拷贝到y[]
{
    for(int i = 1; i <= x[0]; ++i) y[i + n] = x[i];
    y[0] = x[0] + n; //y[0]保存该数组大小
}

int compare(int a[], int b[]) //判断是否可以继续减
{
    if(a[0] > b[0]) return 1; //a > b, 可以继续减
    if(a[0] < b[0]) return -1; //a < b, 不可以继续, 下次循环左移少1位
    for(int i = a[0]; i >= 1; --i) { //从高位开始比较
        if(a[i] > b[i]) return 1;
        if(a[i] < b[i]) return -1;
    }
    return 0; //相等, 可以再减1次
}

void sub(int a[], int b[]) //高精度减法, 按位相减
{
    for(int i = 1; i <= a[0]; ++i) {//低位开始相减, 不足就借位
        if(a[i] < b[i]) {
            a[i + 1]--; //借位
            a[i] += 10;
        }
        a[i] -= b[i];
    }
    while(a[a[0]] == 0 && a[0] > 0) a[0]--; //更新a[0], 删除前导0
}

int main()
{
    string s1, s2;
    cin>>s1>>s2;
    //a[0]被除数长度, b[0]除数, c[0]商最大长度
    a[0] = s1.size(), b[0] = s2.size(), c[0] = a[0] - b[0] + 1;
    //分类讨论: 如果被除数更小
    //低位存入数组开头
    for(int i = 1; i <= a[0]; ++i) a[i] = s1[a[0] - i] - '0';
    for(int i = 1; i <= b[0]; ++i) b[i] = s2[b[0] - i] - '0';
    if(a[0] < b[0] || (a[0] == b[0] && s1 < s2))
        cout<<0; //商为0
    else {
        //减法模拟除法
        for(int i = c[0]; i >= 1; --i) {
            memset(tmp, 0, sizeof(tmp)); //恢复为0
            cpy(b, tmp, i - 1); //b[]左移"商 - 1"位, 拷贝到tmp[]
            while(compare(a, tmp) >= 0) { //可以继续减
                c[i]++; //该位的商 +1
                sub(a, tmp); //高精度减法, a[]上按位减去tmp[]
            }
        }
        //去除前导0
        int k;
        for(k = c[0]; k >= 1; --k)
            if(c[k] != 0) break;
        //高位开始输出商
        for(int i = k; i >= 1; --i)
            cout<<c[i]; //商
    }
    //高位开始输出余数a[]
    cout<<endl;
    for(int i = a[0]; i >= 1; --i)
        cout<<a[i];

    return 0;
}